British Mathematical Olympiad 2007 — Round 1

Find four primes under 100 dividing 3^10 - 2^10

Find four prime numbers less than $100$ which are factors of $3^{10}-2^{10}$.

Topic: Teoria dei Numeri Metodo: Fattorizzazione Abilita: Manipolazione algebrica, Riconoscimento di pattern Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

Trova quattro numeri primi sotto 100 dividendo 3^10 - 2^10

Trova quattro numeri primi inferiori a $100$ che sono fattori di $3^{10}-2^{10}$.

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Convex quadrilateral with trisection points; prove MNPQ has 1/3 area

In the convex quadrilateral $ABCD$, points $M$, $N$ lie on the side $AB$ such that $AM=MN=NB$, and points $P$, $Q$ lie on the side $CD$ such that $CP=PQ=QD$. Prove that $\text{Area of }MNPQ=\frac{1}{3}\text{ Area of }ABCD.$

Topic: Geometria piana Metodo: Coordinate, Simmetria Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica Area: Geometria Fonte: apri PDF

Quadrilatero converso con punti di trisezione; dimostrare che MNPQ ha 1/3 di superficie

Nel quadrilaterale converso $ABCD$, i punti $M$, $N$ si trovano sul lato $AB$ in modo tale che $AM=MN=NB$, e i punti $P$, $Q$ si trovano sul lato $CD$ in modo tale che $CP=PQ=QD$. Provare che $\text{Area of }MNPQ=\frac{1}{3}\text{ Area of }ABCD.$

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Nine-digit pandigital; count those with digits 1-5 in order but not 1-6

The number $910234857$ is an example of a nine-digit number which contains each of the digits $1$ to $9$ exactly once. It also has the property that the digits $1$ to $5$ occur in their natural order, while the digits $1$ to $6$ do not. How many such nine-digit numbers are there?

Topic: Combinatoria Metodo: Conteggio, Casework Abilita: Conteggio sistematico, Casework accurato, Lettura attenta Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF

Pandigital a nove cifre; contare quelli con cifre 1-5 in ordine ma non 1-6

Il numero $910234857$ è un esempio di un numero di nove cifre che contiene ciascuna delle cifre $1$ a $9$ esattamente una volta. Ha anche la proprietà che le cifre $1$ a $5$ si presentino nel loro ordine naturale, mentre le cifre $1$ a $6$ non lo fanno. Quanti numeri di nove cifre ci sono?

src_bmo1_2007__Q03

Two touching circles with common tangent; prove AP = PQ

Two touching circles $S$ and $T$ share a common tangent line which meets $S$ at $A$ and $T$ at $B$. Let $AP$ be a diameter of $S$ and let the tangent from $P$ to $T$ touch it at $Q$. Prove that $AP=PQ$.

Topic: Geometria piana Metodo: Simmetria Abilita: Ragionamento geometrico, Lettura attenta Area: Geometria Fonte: apri PDF

Due cerchi in contatto con tangente comune; dimostrare AP = PQ

Due cerchi di tocco $S$ e $T$ condividono una linea tangente comune che incontra $S$ a $A$ e $T$ a $B$. Lasciate che $AP$ abbia un diametro di $S$ e che la tangente da $P$ a $T$ la tocchi a $Q$. Prova che $AP=PQ$.

src_bmo1_2007__Q04

Positive reals a,b,c; prove cyclic inequality

For positive real numbers $a$, $b$, $c$, prove that $(a^2+b^2{)}^2(b+c)(c+a)\ge (a+b{)}^2(a^{2}b+b^{2}c+c^{2}a-a^{2}c).$

Topic: Disuguaglianze Metodo: Disuguaglianze Abilita: Manipolazione algebrica, Stima Area: Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

Reali positivi a,b,c; dimostrare la disuguaglianza ciclica

Per i numeri reali positivi $a$, $b$, $c$, dimostrare che $(a^2+b^2{)}^2(b+c)(c+a)\ge (a+b{)}^2(a^{2}b+b^{2}c+c^{2}a-a^{2}c).$

src_bmo1_2007__Q05

Integer n; show 2+sqrt(3+sqrt(12n+1)) integer implies n perfect square

Let $n$ be an integer. Show that if $2+\sqrt{3+\sqrt{12n+1}}$ is an integer, then $n$ is a perfect square.

Topic: Teoria dei Numeri, Algebra Metodo: Congruenze, Fattorizzazione Abilita: Manipolazione algebrica, Lettura attenta Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

Integer n; mostrare 2+sqrt(3+sqrt(12n+1)) intero implica n quadrato perfetto

$n$ sia un numero intero. Mostra che se $2+\sqrt{3+\sqrt{12n+1}}$ è un intero, allora $n$ è un quadrato perfetto.

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