British Mathematical Olympiad 2008 — Round 1

Find value of ratio of eighth powers to fourth powers

Find the value of $\frac{1^8+2007^8+2008^8}{1^4+2007^4+2008^4}.$

Topic: Algebra, Teoria dei Numeri Metodo: Fattorizzazione Abilita: Manipolazione algebrica, Riconoscimento di pattern Area: Algebra e Analisi, Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

Valutazione del rapporto fra ottava potenza e quarta potenza

Trova il valore di $\frac{1^8+2007^8+2008^8}{1^4+2007^4+2008^4}.$

src_bmo1_2008__Q01

Find all positive-integer solutions to a simultaneous system

Find all solutions in positive integers $x,y$ to the simultaneous equations $x+y-z=12$ $x^2+y^2-z^2=12.$

Topic: Teoria dei Numeri, Algebra Metodo: Casework, Fattorizzazione Abilita: Manipolazione algebrica, Lettura attenta, Casework accurato Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

Trova tutte le soluzioni a numeri interi positivi di un sistema simultaneo

Trova tutte le soluzioni in numeri interi positivi $x,y$ alle equazioni simultanee $x+y-z=12$ $x^2+y^2-z^2=12.$

src_bmo1_2008__Q02

Circumcircle, perpendiculars from Q, show two triangles similar

Let $ABC$ be a triangle, with an obtuse angle at $A$. Let $Q$ be a point (other than $A$, $B$, $C$) on the circumcircle of the triangle, on the same arc as $A$. Let $P$ be the other intersection of the line $BQ$ with the circle through $Q$, $A$, and the midpoint of $BC$. Let $N$ be the foot of the perpendicular from $Q$ onto $CA$ and let $M$ be the foot of the perpendicular from $Q$ onto $AB$. Show that triangles $ABC$ and $BCA$ are similar. (Note: the circumcircle of triangle $ABC$ is the circle passing through the vertices $A$, $B$, $C$.)

Topic: Geometria piana Metodo: Simmetria Abilita: Ragionamento geometrico, Lettura attenta Area: Geometria Fonte: apri PDF

Circolo, perpendicolari da Q, mostrano due triangoli simili

$ABC$ sia un triangolo, con un angolo obtuso a $A$. Il $Q$ deve essere un punto (diversi da $A$, $B$, $C$) sul circoncircolo del triangolo, sullo stesso arco di $A$. Il $P$ deve essere l’altra intersezione della linea $BQ$ con il cerchio attraverso $Q$, $A$ e il punto medio di $BC$. Il $N$ deve essere il piede della perpendicolare da $Q$ a $CA$ e il $M$ deve essere il piede della perpendicolare da $Q$ a $AB$. Indicare che i triangoli $ABC$ e $BCA$ sono simili. (Nota: il circoncircolo del triangolo $ABC$ è il cerchio che attraversa i vertici $A$, $B$, $C$.)

src_bmo1_2008__Q03

Subset of 756 elements from 1 to 2008, show two elements with divisibility

Let $S$ be a subset of the set $\{1,2,3,\dots ,2008\}$ which consists of 756 distinct members. Show that there are two distinct elements $a$, $b$ in $S$ such that $a$ divides $b$.

Topic: Combinatoria, Teoria dei Numeri Metodo: Principio dei cassetti Abilita: Astrazione, Conteggio sistematico, Ragionamento geometrico Area: Combinatoria, Logica e Probabilita, Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

Sottoinsieme di 756 elementi dal 1 al 2008, mostrano due elementi con divisibilità

$S$ sia un sottoinsieme del set $\{1,2,3,\dots ,2008\}$ che è composto da 756 membri distinti. Indicare che ci sono due elementi distinti $a$ e $b$ in $S$ in modo tale che $a$ divida $b$.

src_bmo1_2008__Q04

Internal point in triangle, three parallel lines, prove product inequality

Let $P$ be an internal point of triangle $ABC$. The line through $P$ parallel to $AB$ meets $BC$ at $L$, the line through $P$ parallel to $BC$ meets $CA$ at $M$, and the line through $P$ parallel to $CA$ meets $AB$ at $N$. Prove that $\frac{BL}{BC}\cdot \frac{CM}{CA}\cdot \frac{AN}{AB}\le \frac{1}{8},$ and locate the position of $P$ in triangle $ABC$ when equality holds.

Topic: Geometria piana, Disuguaglianze Metodo: Disuguaglianze, Simmetria Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica, Modellizzazione Area: Geometria, Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

Punto interno in triangolo, tre linee parallele, dimostrare la disuguaglianza del prodotto

Il punto $P$ deve essere un punto interno del triangolo $ABC$. La linea attraverso $P$ parallela a $AB$ incontra $BC$ a $L$, la linea attraverso $P$ parallela a $BC$ incontra $CA$ a $M$, e la linea attraverso $P$ parallela a $CA$ incontra $AB$ a $N$. Prove che $\frac{BL}{BC}\cdot \frac{CM}{CA}\cdot \frac{AN}{AB}\le \frac{1}{8},$ e trova la posizione di $P$ nel triangolo $ABC$ quando l’uguaglianza è valida.

src_bmo1_2008__Q05

Recursive function on positive integers, prove integer values, count solutions

The function $f$ is defined on the positive integers by $f(1)=1$, $f(2n)=2f(n)$, and $f(2n+1)=f(2n)+1$ for all $n\ge 1$. (i) Prove that $f(n)$ is always an integer. (ii) For how many positive integers $n$ is $f(n)=2007$? And for how many positive integers $n\le 2007$ is $f(n)=2n$?

Topic: Teoria dei Numeri, Algebra Metodo: Induzione, Ricorsione Abilita: Manipolazione algebrica, Riconoscimento di pattern, Ragionamento geometrico Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

Funzione ricursiva su numeri interi positivi, prove di valori interi, soluzioni di conteggio

La funzione $f$ è definita sui numeri interi positivi da $f(1)=1$, $f(2n)=2f(n)$ e $f(2n+1)=f(2n)+1$ per tutti $n\ge 1$. (i) dimostrare che $f(n)$ è sempre un numero intero. (ii) Per quanti integri positivi $n$ è $f(n)=2007$? E per quanti numeri interi positivi $n\le 2007$ è $f(n)=2n$?

src_bmo1_2008__Q06