British Mathematical Olympiad 2009 — Round 1

Count zig-zag paths on a standard 8x8 chessboard

Consider a standard $8\times 8$ chessboard consisting of 64 small squares coloured in the usual pattern, so 32 are black and 32 are white. A zig-zag path across the board is a collection of eight white squares, one in each row, which meet at their corners. How many zig-zag paths are there?

Topic: Combinatoria Metodo: Conteggio, Ricorsione Abilita: Conteggio sistematico, Riconoscimento di pattern Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF

Contare i percorsi in zigzag su una scacchiera standard 8x8

Si consideri una scacchiera standard $8\times 8$ costituita da 64 piccoli quadrati colorati nel solito modello, quindi 32 in nero e 32 in bianco. Un percorso in zigzag attraverso il bordo è una raccolta di otto quadrati bianchi, uno in ogni riga, che si incontrano negli angoli. Quanti percorsi zigzag ci sono?

src_bmo1_2009__Q01

Find all real values of x, y, z satisfying a system

Find all values of $x$, $y$ and $z$ such that $(x+1)z=12,(y+1)z=4\text{and}(z+1)x=4.$

Topic: Algebra Metodo: Casework, Fattorizzazione Abilita: Manipolazione algebrica, Lettura attenta Area: Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

Ricerca tutti i valori reali di x, y, z che soddisfano un sistema

Trova tutti i valori di $x$, $y$ e $z$ in modo tale che $(x+1)z=12,(y+1)z=4\text{and}(z+1)x=4.$

src_bmo1_2009__Q02

Parallelogram, circumcircle meets CP at Q; prove PQ=AC iff angle=60

Let $ABPC$ be a parallelogram such that $\angle ABC$ is an acute angle. The circumcircle of triangle $ABC$ meets the line $CP$ again at $Q$. Prove that $PQ=AC$ if and only if $\angle BAC=60^{\circ }$.

Topic: Geometria piana Metodo: Simmetria, Trigonometria Abilita: Ragionamento geometrico, Lettura attenta Area: Geometria Fonte: apri PDF

Parallelogramma, circolo incontra CP a Q; prova PQ=ACff angolo=60

Il $ABPC$ deve essere un parallelo tale che $\angle ABC$ sia un angolo acuto. Il circoncircolo del triangolo $ABC$ incontra di nuovo la linea $CP$ a $Q$. Prova che $PQ=AC$ se e solo se $\angle BAC=60^{\circ }$.

src_bmo1_2009__Q03

Find positive integers n where 2008 divides n^2+2008 and 2009 divides n^2+2009

Find all positive integers $n$ such that $2008$ divides $n^2+2008$ and $2009$ divides $n^2+2009$.

Topic: Teoria dei Numeri Metodo: Congruenze, Fattorizzazione Abilita: Manipolazione algebrica, Conteggio sistematico Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

Ricerca i numeri interi positivi n dove 2008 divide n^2+2008 e 2009 divide n^2+2009

Trova tutti gli integri positivi $n$ in modo tale che $2008$ divida $n^2+2008$ e $2009$ divida $n^2+2009$.

src_bmo1_2009__Q04

Find all sequences satisfying a recurrence with a periodic rational term

Determine the sequences $a_1,a_2,a_3,\dots$ which satisfy all of the following conditions: a) $a_{n+1}=2a_n^2-1$ for every integer $n\ge 0$; b) $a_0$ is a rational number; c) $a_i=a_j$ for some $i\ne j$.

Topic: Algebra, Teoria dei Numeri Metodo: Ricorsione, Induzione, Invarianti Abilita: Riconoscimento di pattern, Manipolazione algebrica, Lettura attenta Area: Algebra e Analisi, Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

Trova tutte le sequenze che soddisfano una ricorrenza con un termine razionale periodico

Determinare le sequenze $a_1,a_2,a_3,\dots$ che soddisfano tutte le seguenti condizioni: a) $a_{n+1}=2a_n^2-1$ per ogni numero intero $n\ge 0$; b) $a_0$ è un numero razionale; c) $a_i=a_j$ per alcuni $i\ne j$.

src_bmo1_2009__Q05

Prove cosine-weighted sum of cubed sides is less than abc in obtuse triangle

The obtuse-angled triangle $ABC$ has sides of length $a$, $b$ and $c$ opposite the angles $\angle A$, $\angle B$ and $\angle C$ respectively. Prove that $a^3\cos A+b^3\cos B+c^3\cos C<abc.$

Topic: Disuguaglianze, Geometria piana, Trigonometria Metodo: Disuguaglianze, Trigonometria Abilita: Manipolazione algebrica, Ragionamento geometrico, Stima Area: Algebra e Analisi, Geometria Fonte: apri PDF

Prove che la somma cosina ponderata dei lati a cubo è inferiore a abc in triangolo obtuso

Il triangolo angolato ottuso $ABC$ ha lati di lunghezza $a$, $b$ e $c$ opposti rispettivamente agli angoli $\angle A$, $\angle B$ e $\angle C$. Provare che $a^3\cos A+b^3\cos B+c^3\cos C<abc.$

src_bmo1_2009__Q06