British Mathematical Olympiad 2010 — Round 1

Find integers x,y,z satisfying two simultaneous equations

Find all integers $x$, $y$ and $z$ such that $x^2+y^2+z^2=x+y+1$ and $x+y+z=4018.$

Topic: Algebra, Teoria dei Numeri Metodo: Casework, Congruenze Abilita: Manipolazione algebrica, Lettura attenta Area: Algebra e Analisi, Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

Trova numeri interi x,y,z che soddisfano due equazioni simultanee

Trova tutti gli integri $x$, $y$ e $z$ in modo tale che $x^2+y^2+z^2=x+y+1$ e $x+y+z=4018.$

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Circle through four points with two parallel chords

Points $A$, $B$, $C$, $D$ and $E$ lie, in that order, on a circle and the lines $AB$ and $ED$ are parallel. The line through $D$ which is parallel to $AC$ meets $BE$ at $F$. Prove that $BC=DF$.

Topic: Geometria piana Metodo: Simmetria Abilita: Ragionamento geometrico, Lettura attenta Area: Geometria Fonte: apri PDF

Circolo attraverso quattro punti con due accordi paralleli

I punti $A$, $B$, $C$, $D$ e $E$ si trovano, in tale ordine, su un cerchio e le linee $AB$ e $ED$ sono parallele. La linea attraverso $D$ parallela a $AC$ incontra $BE$ a $F$. Prova che $BC=DF$.

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BMO exam problem ordering and maximum score

Isaac attempts all six questions on an Olympiad paper in order. Each question is marked on a scale from $0$ to $10$. He never scores more in a later question than in any earlier question. How many different possible sequences of six marks are there?

Topic: Combinatoria Metodo: Conteggio, Casework Abilita: Conteggio sistematico, Riconoscimento di pattern Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF

Ordine dei problemi di esame BMO e punteggio massimo

Isaac prova tutte e sei le domande su un articolo di Olimpiade in ordine. Ogni domanda è contrassegnata su una scala da $0$ a $10$. In una domanda successiva non ottiene mai più punteggi che in una domanda precedente. Quante diverse possibili sequenze di sei segni ci sono?

src_bmo1_2010__Q03

Two circles with common tangent and perpendicular bisector condition

Two circles, of different radii, with centres at $B$ and $C$, touch externally at $A$. A common tangent, not through $A$, touches the first circle at $D$ and the second at $E$. The line through $A$ which is perpendicular to $DE$ meets $BC$ at $F$. Prove that $BC=2AF$.

Topic: Geometria piana Metodo: Coordinate, Simmetria Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica Area: Geometria Fonte: apri PDF

Due cerchi con condizione di bisettore tangente e perpendicolare comune

Due cerchi, di radii diversi, con centri a $B$ e $C$, che si toccano esternamente a $A$. Un tangente comune, non attraverso $A$, tocca il primo cerchio a $D$ e il secondo a $E$. La linea che attraversa $A$ perpendicolare a $DE$ incontra $BC$ a $F$. Prova che $BC=2AF$.

src_bmo1_2010__Q04

Functions on reals satisfying a functional equation

Find all functions $f$, defined on the real numbers and taking real values, which satisfy $f(x)f(y)=f(x+y)+f(x-y)$ for all real numbers $x$ and $y$.

Topic: Equazioni funzionali, Algebra Metodo: Casework, Simmetria Abilita: Manipolazione algebrica, Riconoscimento di pattern, Lettura attenta Area: Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

Funzioni su reali che soddisfano un’equazione funzionale

Trovare tutte le funzioni $f$, definite sui numeri reali e assumendo valori reali, che soddisfano $f(x)f(y)=f(x+y)+f(x-y)$ per tutti i numeri reali $x$ e $y$.

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Treasure map: prove digging in one place suffices

Long John Silverman has captured a treasure map from Adam McBones. Adam has buried the treasure at the point $(x,y)$ with integer coordinates (not necessarily positive). He has indicated on the map the values of $x^2+y$ and $x+y^2$, and these values are both integers. Prove that Long John has to dig in only one place to find the treasure.

Topic: Teoria dei Numeri, Algebra Metodo: Fattorizzazione, Congruenze Abilita: Manipolazione algebrica, Ragionamento geometrico, Lettura attenta Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

Mapa del tesoro: basta scavare in un solo luogo

Il lunghissimo John Silverman ha catturato una mappa del tesoro di Adam McBones. Adamo ha sepolto il tesoro al punto $(x,y)$ con coordinate interi (non necessariamente positive). Ha indicato sulla mappa i valori di $x^2+y$ e $x+y^2$, e questi valori sono entrambi numeri interi. Dimostra che Long John deve scavare in un solo posto per trovare il tesoro.

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