British Mathematical Olympiad 2011 — Round 1

Find which integer was removed from 1..n given the average of the rest.

One number is removed from the set of integers from $1$ to $n$. The average of the remaining numbers is $40\frac{3}{4}$. Which integer was removed?

Topic: Algebra, Teoria dei Numeri Metodo: Casework Abilita: Manipolazione algebrica, Lettura attenta Area: Algebra e Analisi, Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

Ricerca quale numero intero è stato rimosso da 1..n data la media del resto.

Un numero viene rimosso dall’insieme di numeri interi da $1$ a $n$. La media dei restanti numeri è $40\frac{3}{4}$. Quale numero intero è stato rimosso?

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A square hole is drilled through a solid cube; find integer side lengths where remaining volume equals total surface area.

Let $s$ be an integer greater than $6$. A solid cube of side $s$ has a square hole of side $x<6$ drilled directly through from one face to the opposite face (so the drill removes a cuboid). The volume of the remaining solid is numerically equal to the total surface area of the remaining solid. Determine all possible integer values of $x$.

Topic: Algebra, Geometria solida Metodo: Casework, Fattorizzazione Abilita: Manipolazione algebrica, Modellizzazione Area: Algebra e Analisi, Geometria Fonte: apri PDF

Un buco quadrato viene perforato attraverso un cubo solido; trovare lunghezze laterali interi dove il volume rimanente è uguale alla superficie totale.

Se $s$ è un numero intero maggiore di $6$. Un cubo di lato solido $s$ ha un buco quadrato di lato $x<6$ perforato direttamente da una faccia alla faccia opposta (in questo modo il foraggio rimuove un cuboide). Il volume del solido rimanente è numericamente uguale alla superficie totale del solido rimanente. Determinare tutti i possibili valori interi di $x$.

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Right-angled triangle with point L on BC; two circles meet AC and AB again at M and N; prove L, M, N collinear.

Let $ABC$ be a triangle with $\angle CAB$ a right-angle. The point $L$ lies on the side $BC$ between $B$ and $C$. The circle $ABL$ meets the line $AC$ again at $M$ and the circle $CAL$ meets the line $AB$ again at $N$. Prove that $L$, $M$ and $N$ lie on a straight line.

Topic: Geometria piana Metodo: Simmetria Abilita: Ragionamento geometrico Area: Geometria Fonte: apri PDF

Triangolo rettangolare con punto L su BC; due cerchi incontrano AC e AB di nuovo a M e N; dimostrare L, M, N collineari.

Che $ABC$ sia un triangolo con $\angle CAB$ un angolo rettangolo. Il punto $L$ si trova sul lato $BC$ tra $B$ e $C$. Il cerchio $ABL$ incontra di nuovo la linea $AC$ a $M$ e il cerchio $CAL$ incontra di nuovo la linea $AB$ a $N$. Prova che $L$, $M$ e $N$ si trovano su una linea retta.

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Colourings of an 8x8 board with red/white/blue counters; compare parity of red counters across arrangements.

Isaac has a large supply of counters, and places one in each of the $1\times 1$ squares of an $8\times 8$ chessboard. Each counter is either red, white or blue. A particular pattern of coloured counters is called an $\text{arrangement}$. Determine whether there are more arrangements which contain an even number of red counters or more arrangements which contain an odd number of red counters. $\text{Note that }0\text{ is an even number.}$

Topic: Combinatoria Metodo: Conteggio, Casi e conteggio Abilita: Conteggio sistematico, Riconoscimento di pattern Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF

Colori di una lavagna 8x8 con contatori rosso/bianco/blu; confrontazione della parità dei contatori rossi tra le disposizioni.

Isaac dispone di una grande quantità di contatori e ne colloca uno in ognuno dei quadrati $1\times 1$ di una scacchiera $8\times 8$. Ogni contatore è rosso, bianco o blu. Un particolare modello di contatori colorati è chiamato $\text{arrangement}$. Determinare se esistono più sistemi che contengono un numero pari di contatori rossi o più sistemi che contengono un numero imparato di contatori rossi. $\text{Note that }0\text{ is an even number.}$

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Two circles meet at L and M; with P on S2, chords PL and PM meet S1 again at Q and R; prove K lies on a fixed circle as P varies.

Circles $S_1$ and $S_2$ meet at $L$ and $M$. Let $P$ be a point on $S_2$. Let $PL$ and $PM$ meet $S_1$ again at $Q$ and $R$ respectively. The lines $QM$ and $RL$ meet at $K$. Show that, as $P$ varies on $S_2$, $K$ lies on a fixed circle.

Topic: Geometria piana Metodo: Simmetria Abilita: Ragionamento geometrico Area: Geometria Fonte: apri PDF

Due cerchi si incontrano a L e M; con P su S2, gli accordi PL e PM si incontrano di nuovo a S1 a Q e R; dimostrare che K si trova su un cerchio fisso in quanto P varia.

I cerchi $S_1$ e $S_2$ si incontrano a $L$ e $M$. Let $P$ essere un punto su $S_2$. Lasciate che $PL$ e $PM$ rientrino in $S_1$ rispettivamente a $Q$ e $R$. Le linee $QM$ e $RL$ si incontrano a $K$. Mostrare che, poiché $P$ varia su $S_2$, $K$ si trova su un cerchio fisso.

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Triangle side lengths a,b,c with ab+bc+ca=1; prove (a+1)(b+1)(c+1)<4.

Let $a$, $b$ and $c$ be the lengths of the sides of a triangle. Suppose that $ab+bc+ca=1$. Show that $(a+1)(b+1)(c+1)<4$.

Topic: Algebra, Disuguaglianze Metodo: Disuguaglianze Abilita: Manipolazione algebrica Area: Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

Lunghezza laterale del triangolo a,b,c con ab+bc+ca=1; prova (a+1)(b+1)(c+1)<4.

Le lunghezze dei lati di un triangolo sono $a$, $b$ e $c$. Supponiamo che $ab+bc+ca=1$. Mostrare che $(a+1)(b+1)(c+1)<4$.

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