British Mathematical Olympiad 2012 — Round 1

Find all integers n where n^2+20n+11 is a perfect square

Find all (positive or negative) integers $n$ for which $n^2+20n+11$ is a perfect square. Remember that you must justify that you have found them all.

Topic: Teoria dei Numeri, Algebra Metodo: Fattorizzazione, Casework Abilita: Manipolazione algebrica, Conteggio sistematico, Lettura attenta Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

Trova tutti gli integri n dove n^2+20n+11 è un quadrato perfetto

Trova tutti gli integri $n$ (positivi o negativi) per i quali $n^2+20n+11$ è un quadrato perfetto. Ricorda che devi giustificare di averli trovati tutti.

src_bmo1_2012__Q01

Largest t so that 1..n arranged in row with all consecutive terms differing by at least t

Consider the numbers $1,2,\dots ,n$. Find, in terms of $n$, the largest integer $t$ such that these numbers can be arranged in a row so that all consecutive terms differ by at least $t$.

Topic: Combinatoria Metodo: Estremalità, Casework Abilita: Conteggio sistematico, Riconoscimento di pattern, Lettura attenta Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF

T più grande in modo che 1..n sia disposta in riga con tutti i termini consecutivi che differiscono almeno di t

Considerate i numeri $1,2,\dots ,n$. Trova, in termini di $n$, il più grande intero $t$ in modo tale che questi numeri possano essere disposti in una riga in modo che tutti i termini consecutivi differiscano almeno $t$.

src_bmo1_2012__Q02

Two circles through P tangent to S at X, Y: difference of radii independent of positions of P, X, Y

Consider a circle $S$. The point $P$ lies outside $S$ and a line is drawn through $P$, cutting $S$ at distinct points $X$ and $Y$. Circles $S_1$ and $S_2$ are drawn through $P$ which are tangent to $S$ at $X$ and $Y$ respectively. Prove that the difference of the radii of $S_1$ and $S_2$ is independent of the positions of $P$, $X$ and $Y$.

Topic: Geometria piana Metodo: Simmetria Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica, Lettura attenta Area: Geometria Fonte: apri PDF

Due cerchi attraverso P tangenti a S a X, Y: differenza di raggio indipendente dalle posizioni di P, X, Y

Considera un cerchio $S$. Il punto $P$ si trova al di fuori di $S$ e una linea è tracciata attraverso $P$, tagliando $S$ in punti distinti $X$ e $Y$. I cerchi $S_1$ e $S_2$ sono tracciati attraverso $P$ che sono tangenti a $S$ rispettivamente a $X$ e $Y$. Dimostrare che la differenza tra i raggi di $S_1$ e $S_2$ è indipendente dalle posizioni di $P$, $X$ e $Y$.

src_bmo1_2012__Q03

Balls in two bags: removing equal amounts or doubling/tripling; determine if both bags can always be emptied

Initially there are $m$ balls in one bag, and $n$ in the other, where $m,n>0$. Two different operations are allowed: a) Remove an equal number of balls from each bag; b) Double the number of balls in one bag.

Is it always possible to empty both bags after a finite sequence of operations?

Operation b) is now replaced with b’) Triple the number of balls in one bag.

Is it now always possible to empty both bags after a finite sequence of operations?

Topic: Teoria dei Numeri, Combinatoria Metodo: Induzione, Invarianti, Congruenze Abilita: Modellizzazione, Riconoscimento di pattern, Lettura attenta, Ragionamento geometrico Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF

Palle in due sacchetti: rimuovere quantità uguali o raddoppiare/triplicare; determinare se entrambe le sacche possono sempre essere svuotate

Inizialmente ci sono palle $m$ in una borsa e $n$ nell’altra, dove $m,n>0$. Sono ammesse due diverse operazioni: a) rimuovere un numero uguale di palle da ciascuna borsa; b) raddoppiare il numero di palle in una borsa.

È sempre possibile svuotare entrambe le borse dopo una sequenza finita di operazioni?

L’operazione b) è ora sostituita da b’) Triplico il numero di palle in un sacchetto.

È ora sempre possibile svuotare entrambe le sacche dopo una sequenza finita di operazioni?

src_bmo1_2012__Q04

Product of four consecutive positive integers cannot equal product of two consecutive positive integers

Prove that the product of four consecutive positive integers cannot be equal to the product of two consecutive positive integers.

Topic: Teoria dei Numeri, Algebra Metodo: Fattorizzazione, Congruenze Abilita: Manipolazione algebrica, Lettura attenta, Stima Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

Il prodotto di quattro integri positivi consecutivi non può essere uguale al prodotto di due integri positivi consecutivi

Prove che il prodotto di quattro numeri interi positivi consecutivi non può essere uguale al prodotto di due numeri interi positivi consecutivi.

src_bmo1_2012__Q05

Acute triangle ABC with orthic triangle: prove DE+DF <= BC with equality characterisation

Let $ABC$ be an acute-angled triangle. The feet of the altitudes from $A$, $B$ and $C$ are $D$, $E$ and $F$ respectively. Prove that $DE+DF\le BC$ and determine the triangles for which equality holds.

The altitude from $A$ is the line through $A$ which is perpendicular to $BC$. The foot of this altitude is the point $D$ where it meets $BC$. The other altitudes are similarly defined.

Topic: Geometria piana, Trigonometria Metodo: Trigonometria, Disuguaglianze Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica, Lettura attenta, Stima Area: Geometria Fonte: apri PDF

Triangolo acuto ABC con triangolo ortico: dimostrare DE+DF <= BC con caratterizzazione di uguaglianza

Che il $ABC$ sia un triangolo acuto. I piedi delle altitudini da $A$, $B$ e $C$ sono rispettivamente $D$, $E$ e $F$. Prova che $DE+DF\le BC$ e determina i triangoli per i quali vale l’uguaglianza.

L’altitudine da $A$ è la linea attraverso $A$ che è perpendicolare a $BC$. Il piede di questa altitudine è il punto $D$ dove incontra $BC$. Le altre altitudini sono definite in modo simile.

src_bmo1_2012__Q06