British Mathematical Olympiad 2015 — Round 1

Order five power-tower numbers by size and justify.

Place the following numbers in increasing order of size, and justify your reasoning: $3^{3^4},3^{4^3},3^{4^4},4^{3^3}\text{and}{4}^{3^4}.$ Note that $a^{b^c}$ means $a^{(b^c)}$.

Topic: Teoria dei Numeri Metodo: Disuguaglianze Abilita: Manipolazione algebrica, Stima Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

Ordina cinque numeri di torri elettriche per dimensioni e giustifica.

In ordine crescente di dimensioni, inserire i seguenti numeri e giustificare il proprio ragionamento: $3^{3^4},3^{4^3},3^{4^4},4^{3^3}\text{and}{4}^{3^4}.$ Nota che $a^{b^c}$ significa $a^{(b^c)}$.

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Given p^2+a^2=b^2 with p prime greater than 3, prove a is a multiple of 12 and 2(p+a+1) is a perfect square.

Positive integers $p$, $a$ and $b$ satisfy the equation $p^2+a^2=b^2$. Prove that if $p$ is a prime greater than 3, then $a$ is a multiple of 12 and $2(p+a+1)$ is a perfect square.

Topic: Teoria dei Numeri Metodo: Congruenze, Fattorizzazione Abilita: Manipolazione algebrica, Casework accurato Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

Dato p^2+a^2=b^2 con p primo maggiore di 3, prova a è un multiple di 12 e 2(p+a+1) è un quadrato perfetto.

Gli integri positivi $p$, $a$ e $b$ soddisfano l’equazione $p^2+a^2=b^2$. Prova che se $p$ è un primo superiore a 3, allora $a$ è un multiple di 12 e $2(p+a+1)$ è un quadrato perfetto.

src_bmo1_2015__Q02

Count ways a team can book seven rooms along a corridor with ten rooms per side so no two reserved rooms on the same side are adjacent.

A hotel has ten rooms along each side of a corridor. An olympiad team leader wishes to book seven rooms on the corridor so that no two reserved rooms on the same side of the corridor are adjacent. In how many ways can this be done?

Topic: Combinatoria Metodo: Casi e conteggio, Conteggio Abilita: Conteggio sistematico, Casework accurato Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF

Conta le modalità in cui un team può prenotare sette stanze lungo un corridoio con dieci stanze a lato in modo che non siano adiacenti due stanze riservate sullo stesso lato.

Un hotel ha dieci camere lungo ogni lato di un corridoio. Un capo di squadra olimpico desidera prenotare sette stanze sul corridoio in modo che non siano adiacenti due stanze riservate sullo stesso lato del corridoio. In quanti modi si può farlo?

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With t=x+x^{-1} an integer greater than 2 and t_n=x^n+x^{-n}, prove t_n is always an integer and determine n for which t divides t_n.

Let $x$ be a real number such that $t=x+x^{-1}$ is an integer greater than 2. Prove that $t_n=x^n+x^{-n}$ is an integer for all positive integers $n$. Determine the values of $n$ for which $t$ divides $t_n$.

Topic: Algebra, Teoria dei Numeri Metodo: Ricorsione, Induzione, Congruenze Abilita: Manipolazione algebrica, Riconoscimento di pattern Area: Algebra e Analisi, Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

Con t=x+x^{-1} un numero intero maggiore di 2 e t_n=x^n+x^{-n}, dimostrare che t_n è sempre un numero intero e determinare n per il quale t divide t_n.

Che $x$ sia un numero reale tale che $t=x+x^{-1}$ sia un numero intero superiore a 2. Prove che $t_n=x^n+x^{-n}$ è un intero per tutti i numeri interi positivi $n$. Determinare i valori di $n$ per i quali $t$ divide $t_n$.

src_bmo1_2015__Q04

In a cyclic quadrilateral with F the midpoint of arc AB not containing C or D, lines DF,AC meet at P and CF,BD meet at Q; prove PQ is parallel to AB.

Let $ABCD$ be a cyclic quadrilateral. Let $F$ be the midpoint of the arc $AB$ of its circumcircle which does not contain $C$ or $D$. Let the lines $DF$ and $AC$ meet at $P$ and the lines $CF$ and $BD$ meet at $Q$. Prove that the lines $PQ$ and $AB$ are parallel.

Topic: Geometria piana Abilita: Ragionamento geometrico Area: Geometria Fonte: apri PDF

In un quadrilaterale ciclico con F il punto medio dell’arco AB non contenente C o D, le linee DF,AC si incontrano a P e CF,BD si incontrano a Q; dimostrare che PQ è parallelo ad AB.

Che il $ABCD$ sia un quadrilaterale ciclico. Il $F$ deve essere il punto medio dell’arco $AB$ del suo circoncircolo che non contiene $C$ o $D$. Lasciate che le linee $DF$ e $AC$ si incontrino a $P$ e le linee $CF$ e $BD$ si incontrino a $Q$. Prove che le linee $PQ$ e $AB$ sono parallele.

src_bmo1_2015__Q05

Determine all functions f from the positive integers to the positive integers such that 1/a+1/b=1/c implies 1/f(a)+1/f(b)=1/f(c).

Determine all functions $f(n)$ from the positive integers to the positive integers which satisfy the following condition: whenever $a$, $b$ and $c$ are positive integers such that $1/a+1/b=1/c$, then $1/f(a)+1/f(b)=1/f(c).$

Topic: Equazioni funzionali, Teoria dei Numeri Metodo: Estremalità Abilita: Manipolazione algebrica, Astrazione Area: Algebra e Analisi, Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

Determina tutte le funzioni f dai numeri interi positivi ai numeri interi positivi in modo tale che 1/a+1/b=1/c implica 1/f(a)+1/f(b)=1/f(c).

Determinare tutte le funzioni $f(n)$ dai numeri interi positivi ai numeri interi positivi che soddisfano la seguente condizione: quando $a$, $b$ e $c$ sono numeri interi positivi come $1/a+1/b=1/c$, allora $1/f(a)+1/f(b)=1/f(c).$

src_bmo1_2015__Q06