Count days Anna can distribute her books equally across all her shelves.
On Thursday 1st January 2015, Anna buys one book and one shelf. For the next two years, she buys one book every day and one shelf on alternate Thursdays, so she next buys a shelf on 15th January 2015. On how many days in the period Thursday 1st January 2015 until (and including) Saturday 31st December 2016 is it possible for Anna to put all her books on all her shelves, so that there is an equal number of books on each shelf?
Topic: Teoria dei Numeri, Combinatoria Metodo: Conteggio, Casework Abilita: Lettura attenta, Conteggio sistematico Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF
Conti giorni Anna può distribuire i suoi libri in modo uguale su tutti i suoi scaffali.
Giovedì 1 gennaio 2015, Anna compra un libro e uno scaffale. Per i prossimi due anni, comprò un libro ogni giorno e uno scaffale ogni giovedì, quindi comprò un scaffale il 15 gennaio 2015. In quanti giorni del periodo Giovedì 1° gennaio 2015 fino (e compreso) sabato 31 dicembre 2016 è possibile per Anna mettere tutti i suoi libri su tutti i suoi scaffali, in modo che ci sia un numero uguale di libri su ogni scaffale?
Cyclic quadrilateral; tangent to a circle meets a line; prove a triangle is isosceles.
Let be a cyclic quadrilateral and let the lines and meet at . The line through which is tangent to the circle meets the line at . Prove that the triangle is isosceles.
Topic: Geometria piana Metodo: Simmetria Abilita: Ragionamento geometrico Area: Geometria Fonte: apri PDF
Quadrilaterale ciclico; tangente a un cerchio incontra una linea; dimostrare che un triangolo è uguale a un’usocelea.
Che sia un quadrilaterale ciclico e che le linee e si incontrino a . La linea attraverso che è tangente al cerchio incontra la linea a . Provare che il triangolo è uguale.
Quadratic-formula sequence sharing the greatest number of successive terms with the Fibonacci sequence.
Suppose that a sequence is defined by a formula for all integers . Here , and are real constants with . Determine values of , and which give the greatest possible number of successive terms of the sequence which are also successive terms of the Fibonacci sequence. The Fibonacci sequence is defined by , and for .
Topic: Algebra, Teoria dei Numeri Metodo: Fattorizzazione, Ricorsione Abilita: Manipolazione algebrica, Riconoscimento di pattern Area: Algebra e Analisi, Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF
Sequenza quadratica-formula che condivide il maggior numero di termini successivi con la sequenza di Fibonacci.
Supponiamo che una sequenza sia definita con una formula per tutti gli integri . Qui , e sono costanti reali con . Determinare i valori di , e che danno il maggior numero possibile di termini successivi della sequenza che sono anche termini successivi della sequenza di Fibonacci. La sequenza di Fibonacci è definita da , e per .
Pebble game with red and blue jars; find the maximum number of moves.
James has a red jar, a blue jar and a pile of 100 pebbles. Initially both jars are empty. A move consists of moving a pebble from the pile into one of the jars or returning a pebble to the pile from one of the jars. The numbers of pebbles in the red and blue jars determine the of the game. The following conditions must be satisfied:
a) The red jar may never contain fewer pebbles than the blue jar;
b) The game may never be returned to a previous state.
What is the maximum number of moves that James can make?
Topic: Combinatoria Metodo: Estremalità, Casework Abilita: Conteggio sistematico, Astrazione Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF
Gioco di ciottole con botti rossi e blu; trovare il numero massimo di mosse.
James ha un vaso rosso, un vaso blu e un mucchio di 100 ciottoli. Inizialmente entrambe le bottiglie sono vuote. Una mossa consiste nel spostare una pietra dalla pila in uno dei vasi o nel riportare una pietra nella pila da uno dei vasi. Il numero di pietre nelle botte rosse e blu determina il del gioco. Le seguenti condizioni devono essere soddisfatte:
a) Il vassoio rosso non deve mai contenere meno pietre che il vassoio blu;
b) Il gioco non può mai essere restituito a uno stato precedente.
Qual è il numero massimo di mosse che James può fare?
Feet of perpendiculars in a triangle; prove four points are collinear.
Let be a triangle, and let , and be the feet of the perpendiculars from , and to , and respectively. Let , , and be the feet of the perpendiculars from to , , and respectively. Prove that , , and are collinear.
Topic: Geometria piana Metodo: Simmetria, Coordinate Abilita: Ragionamento geometrico Area: Geometria Fonte: apri PDF
Piedi perpendicolari in un triangolo; dimostrare che quattro punti sono collineari.
Il è un triangolo e , e sono i piedi delle perpendicolari da , e rispettivamente a , e . I piedi delle perpendicolari da a , , e siano rispettivamente , , e . Provare che , , e sono collineari.
Every positive integer is a sum of different charming integers.
A positive integer is called if it is equal to 2 or is of the form where and are non-negative integers. Prove that every positive integer can be written as a sum of different charming integers.
Topic: Teoria dei Numeri, Combinatoria Metodo: Induzione, Casework Abilita: Manipolazione algebrica, Conteggio sistematico Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF
Ogni intero positivo è la somma di diversi interi incantevoli.
Un intero positivo è chiamato se è uguale a 2 o è di forma dove e sono interi non negativi. Prove che ogni intero positivo può essere scritto come la somma di diversi numeri interi incantevoli.