British Mathematical Olympiad 2017 — Round 1

Find all sets of digits appearing an odd number of times in 1 to 2016

The integers $1,2,3,\dots ,2016$ are written down in base $10$, appearing one after another. Each of the digits from $0$ to $9$ appears many times. A digit $d$ is called odd if the number of times $d$ appears in the list $1,2,3,\dots ,2016$ is odd. Find all possibilities for the set of odd digits.

Topic: Teoria dei Numeri, Combinatoria Metodo: Casework, Congruenze, Conteggio Abilita: Conteggio sistematico, Lettura attenta, Manipolazione algebrica Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF

Ricerca tutti gli insiemi di cifre che appaiono un numero impar di volte nel periodo da 1 a 2016

I numeri interi $1,2,3,\dots ,2016$ sono scritti in base $10$, apparendo uno dopo l’altro. Ciascuna delle cifre da $0$ a $9$ appare molte volte. Una cifra $d$ viene chiamata odd se il numero di volte $d$ appare nell’elenco $1,2,3,\dots ,2016$ è odd. Trova tutte le possibilità per l’insieme di cifre rare.

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Find all positive reals y satisfying {y}{2y}=1 where {x}=max(x,1/x)

For each positive real number $x$, define $\{x\}$ to be the greatest of $x$ and $\frac{1}{x}$. Find, with proof, all positive real numbers $y$ such that $\{y\}\{2y\}=1.$

Topic: Algebra, Insiemi e funzioni Metodo: Casework, Fattorizzazione Abilita: Manipolazione algebrica, Lettura attenta, Casework accurato Area: Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

*Trova tutti i reali positivi y che soddisfano {y}{2y}=1 dove {x}=max(x,1/x) *

Per ogni numero reale positivo $x$, definire $\{x\}$ come il più grande di $x$ e $\frac{1}{x}$. Trova, con la prova, tutti i numeri reali positivi $y$ in modo tale che $\{y\}\{2y\}=1.$

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Find all positive integer pairs (m,n) satisfying m^6 - 66 = n^2 + 5n - 10

Determine all pairs $(m,n)$ of positive integers which satisfy the equation $m^6-66=n^2+5n-10.$

Topic: Teoria dei Numeri, Algebra Metodo: Congruenze, Fattorizzazione, Casework Abilita: Manipolazione algebrica, Conteggio sistematico, Lettura attenta Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

Ricerca tutte le coppie di numeri interi positivi (m,n) che soddisfano m^6 - 66 = n^2 + 5n - 10

Determinare tutte le coppie $(m,n)$ di integri positivi che soddisfano l’equazione $m^6-66=n^2+5n-10.$

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Naomi and Tom integer-sum game; determine winning strategy

Naomi and Tom play a game. They take it in turns to choose a positive integer, with Naomi going first. A player loses the game if, after their turn, the sum of all the integers chosen since the start of the game (by both of them) cannot be expressed as the difference of two squares. Determine whether one of the players has a winning strategy, and if so, which one.

Topic: Combinatoria, Teoria dei Numeri Metodo: Invarianti, Casework, Estremalità Abilita: Lettura attenta, Modellizzazione, Casework accurato Area: Combinatoria, Logica e Probabilita, Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

Gioco di somma integrale di Naomi e Tom; determina la strategia vincente

Naomi e Tom giocano a un gioco. Lo scelgono a turno per scegliere un numero intero positivo, con Naomi prima. Un giocatore perde la partita se, dopo il turno, la somma di tutti i numeri interi scelti dall’inizio della partita (da entrambi) non può essere espressa come la differenza di due quadrati. Determina se uno dei giocatori ha una strategia vincente e, se sì, quale.

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Equal areas [ACP]=[ABC]=[BQC] imply angle BCA=90 degrees

Let $ABC$ be a triangle with $\angle A<\angle B<\angle C$. Let $\Gamma$ be the circle through $A$, $B$ and $C$. The tangents to $\Gamma$ at $A$ and $C$ meet at $P$. The line segment $AP$ meets $\Gamma$ again at $Q$. It is given that $[ACP]=[ABC]=[BQC].$ Prove that $\angle BCA=90^{\circ }$. Here $[XYZ]$ denotes the area of triangle $XYZ$.

Topic: Geometria piana Metodo: Simmetria, Trigonometria Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica, Lettura attenta Area: Geometria Fonte: apri PDF

Aree uguali [ACP]=[ABC]=[BQC] implicano angolo BCA=90 gradi

$ABC$ sia un triangolo con $\angle A<\angle B<\angle C$. Il circolo $\Gamma$ deve essere il circolo che attraversa $A$, $B$ e $C$. Le tangenti di $\Gamma$ a $A$ e $C$ si incontrano a $P$. Il segmento di linea $AP$ incontra di nuovo $\Gamma$ a $Q$. È dato che $[ACP]=[ABC]=[BQC].$ dimostra che $\angle BCA=90^{\circ }$. Qui $[XYZ]$ indica l’area del triangolo $XYZ$.

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Consecutive positive integers divisible by consecutive odd integers; find smallest m

Consecutive positive integers $n$, $n+2$ and $n+4$ are each exactly divisible by consecutive odd positive integers $m$, $m+2$ and $m+4$ respectively. Determine the smallest possible value of $m$.

Topic: Teoria dei Numeri Metodo: Congruenze, Casework, Fattorizzazione Abilita: Manipolazione algebrica, Conteggio sistematico, Lettura attenta Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

insieri positivi consecutivi divisibili da numeri interi unici consecutivi; trovare il più piccolo m

I numeri interi positivi consecutivi $n$, $n+2$ e $n+4$ sono entrambi esattamente divisibili rispettivamente da numeri interi positivi odd $m$, $m+2$ e $m+4$. Determinare il minimo valore possibile di $m$.

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