British Mathematical Olympiad 2018 — Round 1

Compare remainder sums: Helen divides 365, Henry divides 366

Helen divides $365$ by each of $1,2,3,\dots ,365$ in turn, writing down a list of the $365$ remainders. Henry divides $366$ by each of $1,2,3,\dots ,366$ in turn, writing down a list of the $366$ remainders. Which list of remainders has the greater sum and by how much?

Topic: Teoria dei Numeri Metodo: Casework Abilita: Manipolazione algebrica, Conteggio sistematico, Lettura attenta Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

Compare le somme rimanenti: Helen divide 365, Henry divide 366

Helen divide $365$ per ciascuno di $1,2,3,\dots ,365$ a sua volta, scrivendo un elenco dei rimanenti $365$. Henry divide $366$ per ciascuno di $1,2,3,\dots ,366$ a sua volta, scrivendo un elenco dei rimanenti $366$. Quale elenco di rimanenti ha la somma maggiore e per quanto?

src_bmo1_2018__Q01

Days all six friends swim in 100-day period, max and min

In a 100-day period, each of six friends goes swimming on exactly 75 days. Show that there must be at least one day on which all six friends swim. What are the largest and smallest possible values of $n$?

Topic: Combinatoria Metodo: Principio dei cassetti, Inclusione-esclusione Abilita: Conteggio sistematico, Modellizzazione, Lettura attenta Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF

I giorni in cui tutti e sei gli amici nuotano in un periodo di 100 giorni, massimo e min.

In un periodo di 100 giorni, ciascuno dei sei amici va a nuotare in esattamente 75 giorni. Mostrate che ci deve essere almeno un giorno in cui tutti e sei i vostri amici nuotano. Quali sono i valori più grandi e più piccoli possibili di $n$?

src_bmo1_2018__Q02

Line through foot of altitude divides triangle area and perimeter equally

The triangle $ABC$ has $AB=CA$ and $BC$ is its longest side. The point $N$ is on the side $BC$ and $BN=AB$. The line $MN$ is perpendicular to $AB$ and passes through $N$ meets $AB$ at $M$. Prove that the line $MN$ divides both the area and the perimeter of triangle $ABC$ into equal parts.

Topic: Geometria piana Metodo: Coordinate, Trigonometria Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica, Lettura attenta Area: Geometria Fonte: apri PDF

Linea attraverso il piede di altitudine divide ugualmente la superficie del triangolo e il perimetro

Il triangolo $ABC$ ha $AB=CA$ e $BC$ è il suo lato più lungo. Il punto $N$ è sul lato $BC$ e $BN=AB$. La linea $MN$ è perpendicolare a $AB$ e passa attraverso $N$ incontra $AB$ a $M$. Prova che la linea $MN$ divide sia l’area che il perimetro del triangolo $ABC$ in parti uguali.

src_bmo1_2018__Q03

Positive real sequence with recurrence; find possible values of a_2017

Consider sequences $a_1,a_2,a_3,\dots$ of positive real numbers such that $a_{n+1}+a_n=(a_{n+1}-a_n{)}^2$ for each positive integer $n$. What are the possible values that $a_{2017}$ can take?

Topic: Algebra Metodo: Ricorsione, Casework Abilita: Manipolazione algebrica, Riconoscimento di pattern, Lettura attenta Area: Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

Sequenza reale positiva con ricorrenza; trovare possibili valori di a_2017

Considerare le sequenze $a_1,a_2,a_3,\dots$ di numeri reali positivi, come $a_{n+1}+a_n=(a_{n+1}-a_n{)}^2$ per ogni intero positivo $n$. Quali sono i valori possibili che $a_{2017}$ può assumere?

src_bmo1_2018__Q04

Minimum colours in grid to block all 100-combs

If we take a $200\times 100$ (or $100\times 2$) grid of unit squares, and remove alternate squares, the remaining $150$ squares form a $100$-comb. Henry takes a $200\times 100$ grid of unit squares, removes $150$ squares, and chooses $k$ of these squares and colours them so that James is unable to choose $150$ multicoloured squares which form a $100$-comb. What is the smallest possible value of $k$?

Topic: Combinatoria Metodo: Colorazione, Estremalità, Invarianti Abilita: Conteggio sistematico, Modellizzazione, Ragionamento geometrico, Stima Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF

Minimum di colori nella griglia per bloccare tutti i 100 combi

Se prendiamo una griglia $200\times 100$ (o $100\times 2$) di quadrati unitari, e rimuoviamo quadrati alternativi, i quadrati $150$ rimanenti formano un $100$-combo. Henry prende una griglia $200\times 100$ di quadrati unitari, rimuove $150$ quadrati, e sceglie $k$ di questi quadrati e li colora in modo che James non sia in grado di scegliere $150$ quadrati multicolori che formano un $100$-combo. Qual è il minimo valore possibile di $k$?

src_bmo1_2018__Q05

Smallest number of cards placed with integer mean at all times

Matthew has a deck of $300$ cards numbered $1$ to $300$. He takes cards out of the deck one at a time, and places the selected cards in a row, with each new card added at the right end of the row. Matthew must arrange that, at all times, the mean of the numbers on the cards in the row is an integer. If at some point, there is no card remaining in the deck which allows Matthew to continue, then he stops. When Matthew has stopped, what is the smallest possible number of cards that he could have placed in the row? Give an example to show this is achievable.

Topic: Teoria dei Numeri, Combinatoria Metodo: Invarianti, Casework, Estremalità Abilita: Manipolazione algebrica, Conteggio sistematico, Modellizzazione, Stima Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF

Il numero minimo di carte con media interi in ogni momento

Matthew ha un mazzo di carte $300$ numerate $1$ a $300$. Prende le carte dal mazzo una alla volta e posiziona le carte selezionate in una fila, con ogni nuova carta aggiunta all’estremità destra della fila. Matthew deve provvedere che, in ogni momento, la media dei numeri sulle carte della fila sia un numero intero. Se a un certo punto, non rimane nessuna carta nel mazzo che permetta a Matthew di continuare, allora si ferma. Quando Matthew si è fermato, qual è il numero minimo possibile di carte che avrebbe potuto mettere in fila? Datemi un esempio che dimostri che ciò è possibile.

src_bmo1_2018__Q06