British Mathematical Olympiad 2019 — Round 1

Count ways to place five two-digit multiples of 3 on blackboard

A list of five two-digit positive integers is written in increasing order on a blackboard. Each of the five integers is a multiple of $3$, and each digit $0,1,2,3,4,5,6,7,8,9$ appears exactly once on the blackboard. In how many ways can this be done? Note that a two-digit number cannot begin with the digit $0$.

Topic: Combinatoria, Teoria dei Numeri Metodo: Casework, Conteggio Abilita: Conteggio sistematico, Casework accurato, Lettura attenta Area: Combinatoria, Logica e Probabilita, Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

Contare i modi per posizionare cinque moltipli a due cifre di 3 sulla lavagna

Una lista di cinque interi positivi a due cifre è scritta in ordine crescente su una lavagna. Ciascuno dei cinque numeri interi è un multiple di $3$, e ogni cifra $0,1,2,3,4,5,6,7,8,9$ appare esattamente una volta sulla lavagna. In quanti modi si può farlo? Si noti che un numero a due cifre non può iniziare con la cifra $0$.

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Determine n for which an n-ring of integers exists

For each positive integer $n\ge 3$, we define an $n$-ring to be a circular arrangement of $n$ (not necessarily distinct) positive integers such that the product of every three neighbouring integers is $n$. Determine the number of integers $n$ in the range $3\le n\le 2018$ for which it is possible to form an $n$-ring.

Topic: Combinatoria, Teoria dei Numeri Metodo: Induzione, Casework, Invarianti Abilita: Riconoscimento di pattern, Manipolazione algebrica, Conteggio sistematico Area: Combinatoria, Logica e Probabilita, Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

Determine n per il quale esiste un anello di interi n

Per ogni intero positivo $n\ge 3$, definiamo un $n$-anello come un’arrangiamento circolare di integri positivi $n$ (non necessariamente distinti) in modo tale che il prodotto di ogni tre integri vicini sia $n$. Determinare il numero di integri $n$ nell’intervallo $3\le n\le 2018$ per i quali è possibile formare un anello $n$.

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Find all products T from two pairs differing by 9 and 6

Ares multiplies two integers which differ by $9$. Grace multiplies two integers which differ by $6$. They obtain the same product $T$. Determine all possible values of $T$.

Topic: Algebra, Teoria dei Numeri Metodo: Fattorizzazione, Casework Abilita: Manipolazione algebrica, Riconoscimento di pattern Area: Algebra e Analisi, Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

Trova tutti i prodotti T da due coppie che differiscono di 9 e 6

Ares moltiplica due numeri interi che differiscono di $9$. Grace moltiplica due enti che differiscono di $6$. Essi ottengono lo stesso prodotto $T$. Determinare tutti i possibili valori di $T$.

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Angle equality in semicircle with tangent lines meeting

Let $\Gamma$ be a semicircle with diameter $AB$. The point $C$ lies on the diameter $AB$ and points $E$ and $D$ lie on the arc $BA$, with $E$ between $B$ and $D$. Let the tangents to $\Gamma$ at $D$ and $E$ meet at $F$. Suppose that $\angle ACD=\angle ECB$.

Prove that $\angle EFD=\angle ACD+\angle ECB$.

Topic: Geometria piana Metodo: Trigonometria Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica, Lettura attenta Area: Geometria Fonte: apri PDF

Equità d’angolo in semicircolo con linee tangenti che si incontrano

Il $\Gamma$ deve essere un semicircolo di diametro $AB$. Il punto $C$ si trova sul diametro $AB$ e i punti $E$ e $D$ si trovano sull’arco $BA$, con $E$ tra $B$ e $D$. Lasciate che i tangenti di $\Gamma$ a $D$ e $E$ si incontrino a $F$. Supponiamo che $\angle ACD=\angle ECB$.

Prove che $\angle EFD=\angle ACD+\angle ECB$.

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Find dimensions of two similar cylinders given three sums

Two solid cylinders are mathematically similar. The sum of their heights is $1$. The sum of their surface areas is $8\pi$. The sum of their volumes is $2\pi$. Find all possibilities for the dimensions of each cylinder.

Topic: Algebra, Geometria solida Metodo: Casework, Fattorizzazione Abilita: Manipolazione algebrica, Modellizzazione, Conteggio sistematico Area: Algebra e Analisi, Geometria Fonte: apri PDF

Ricerca le dimensioni di due cilindri simili dati tre somme

Due cilindri solidi sono matematicamente simili. La somma delle loro altezze è $1$. La somma delle loro superfici è $8\pi$. La somma dei loro volumi è $2\pi$. Trova tutte le possibilità per le dimensioni di ciascun cilindro.

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Highest power of 10 dividing count of ant’s return journeys

Ada the ant starts at a point $O$ on a plane. At the start of each minute she chooses North, South, East or West, and advances 1 metre in that direction. At the end of 2018 minutes she finds herself back at $O$. Let $n$ be the number of possible journeys which she could have made. What is the highest power of $10$ which divides $n$?

Topic: Combinatoria, Teoria dei Numeri Metodo: Conteggio, Congruenze, Doppio conteggio Abilita: Conteggio sistematico, Manipolazione algebrica, Riconoscimento di pattern Area: Combinatoria, Logica e Probabilita, Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

Migliore potenza di 10 divisioni dei viaggi di ritorno della formica

Ada la formica inizia a un punto $O$ su un piano. All’inizio di ogni minuto sceglie Nord, Sud, Est o Ovest, e avanza 1 metro in quella direzione. Alla fine del 2018 si ritrova a $O$. Che il numero di viaggi possibili che avrebbe potuto fare sia $n$. Qual è la potenza più alta di $10$ che divide $n$?

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