At least three primes p<200 with p,p+2,p+6,p+8,p+12 all prime
Show that there are at least three prime numbers less than 200 for which , , and are all prime. Show also that there is only one prime number for which , , , and are all prime.
Topic: Teoria dei Numeri Metodo: Casework, Congruenze Abilita: Lettura attenta, Casework accurato, Conteggio sistematico Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF
Almeno tre prime p<200 con p,p+2,p+6,p+8,p+12 tutte prime
Indicare che ci sono almeno tre numeri primi inferiori a 200 per i quali , , e sono tutti primi. Indicare inoltre che esiste un solo numero primo per il quale , , , e sono tutti numeri primi.
Find all possible values of a1 in integer sequence satisfying recurrence
A sequence of integers satisfies the relation: for all positive integers . What are the possible values of ?
Topic: Algebra, Teoria dei Numeri Metodo: Fattorizzazione, Ricorsione, Casework Abilita: Manipolazione algebrica, Riconoscimento di pattern, Lettura attenta Area: Algebra e Analisi, Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF
Ricerca tutti i possibili valori di a1 in sequenza di numeri interi soddisfacendo la ricorrenza
Una sequenza di integri soddisfa la relazione: per tutti gli integri positivi . Quali sono i valori possibili di ?
Two tangent circles, common tangent meets lines; prove AC perpendicular to BD
Two circles and are tangent at . A common tangent, not through , touches at and at . Points and , on and respectively, are outside the triangle and are such that is on the line .
Prove that is perpendicular to .
Topic: Geometria piana Metodo: Simmetria Abilita: Ragionamento geometrico, Lettura attenta, Modellizzazione Area: Geometria Fonte: apri PDF
Due cerchi tangenti, la tangente comune incontra le linee; dimostrare che l’AC è perpendicolare a BD
Due cerchi e sono tangenti a . Un tangente comune, non attraverso , tocca a e a . I punti e , rispettivamente su e , sono al di fuori del triangolo e sono tali che sia sulla linea .
Prova che è perpendicolare a .
2019 penguins queue with divisibility rule; count positions near tickets 2 and 33
There are 2019 penguins waddling towards their favourite restaurant. As the penguins arrive, they are handed tickets numbered in ascending order from 1 to 2019, and told to join the queue. The first penguin starts the queue. For each the penguin holding ticket number finds the greatest which divides and enters the queue directly behind the penguin holding ticket number . This continues until all 2019 penguins are in the queue.
(a) How many penguins are in front of the penguin with ticket number 2?
(b) What numbers are on the tickets held by the penguins just in front of and just behind the penguin holding ticket 33?
Topic: Combinatoria, Teoria dei Numeri Metodo: Ricorsione, Casework, Induzione Abilita: Riconoscimento di pattern, Conteggio sistematico, Lettura attenta, Ragionamento geometrico Area: Combinatoria, Logica e Probabilita, Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF
2019 Pinguini in coda con regola di divisibilità; contare le posizioni vicino ai biglietti 2 e 33
Ci sono pinguini del 2019 che vagano verso il loro ristorante preferito. Quando arrivano i pinguini, vengono consegnati biglietti numerati in ordine ascendente dal 1 al 2019, e viene detto di unirsi alla coda. Il primo pinguino inizia la coda. Per ciascuna il numero di biglietto di detenzione del pinguino trova il più grande che divide e entra nella coda direttamente dietro il numero di biglietto di detenzione del pinguino . Questo continua fino a quando tutti i pinguini del 2019 sono in coda.
(a) Quanti pinguini sono davanti al pinguino con il biglietto numero 2?
(b) Quali sono i numeri sui biglietti che i pinguini tengono proprio davanti e proprio dietro al pinguino che detiene il biglietto 33?
Children around circle with sweets; find n for which initial arrangement is perfect
Six children are evenly spaced around a circular table. Initially, one has a pile of sweets in front of them, and the others have nothing. If a child has at least four sweets in front of them, they may perform the following move: eat one sweet and give one sweet to each of their immediate neighbours and to the child directly opposite them. An arrangement is called if there is a sequence of moves which results in each child having the same number of sweets in front of them. For which values of is the initial arrangement perfect?
Topic: Combinatoria, Teoria dei Numeri Metodo: Invarianti, Casework, Congruenze Abilita: Modellizzazione, Riconoscimento di pattern, Lettura attenta, Astrazione Area: Combinatoria, Logica e Probabilita, Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF
I bambini intorno al cerchio con dolci; trovare n per il quale l’arrangimento iniziale è perfetto
Sei bambini sono spaziati uniformemente attorno a un tavolo circolare. Inizialmente, uno ha un mucchio di dolci davanti a sé, mentre gli altri non hanno nulla. Se un bambino ha davanti a sé almeno quattro dolci, può fare la seguente mossa: mangiare un dolce e dare un dolce a ciascuno dei suoi vicini immediati e al bambino direttamente di fronte a loro. Un sistema si chiama se vi è una sequenza di movimenti che comporta che ogni bambino abbia davanti a sé lo stesso numero di dolci. Per quali valori di è perfetta la disposizione iniziale?
Find all good functions assigning integers to pairs satisfying functional equation
A function is called if it assigns an integer value to every ordered pair of integers in such a way that for every pair of integers we have:
Find all good functions.
Topic: Algebra, Equazioni funzionali Metodo: Backward, Ricorsione, Simmetria Abilita: Manipolazione algebrica, Astrazione, Lettura attenta, Riconoscimento di pattern Area: Algebra e Analisi Fonte: apri PDF
Trova tutte le buone funzioni che assegnano integri a coppie che soddisfano l’equazione funzionale
Una funzione viene chiamata se assegna un valore intero a ogni coppia ordinata di numeri interi in modo tale che per ogni coppia di numeri interi abbiamo:
Trova tutte le buone funzioni.