British Mathematical Olympiad 2021 — Round 1

Find integer written twice on blackboard after game

Alice and Bob take it in turns to write numbers on a blackboard. Alice starts by writing an integer $a$ between $-100$ and $100$ inclusive on the board. On each of Bob’s turns he writes twice the number Alice wrote last. On each of Alice’s subsequent turns she writes the number $45$ less than the number Bob wrote last. At some point, the number $a$ is written on the board for a second time. Find the value of $a$.

Topic: Algebra, Teoria dei Numeri Metodo: Ricorsione Abilita: Manipolazione algebrica, Lettura attenta Area: Algebra e Analisi, Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

Trova un numero intero scritto due volte sulla lavagna dopo la partita

Alice e Bob lo fanno a turno per scrivere numeri su una lavagna. Alice inizia scrivendo un numero intero $a$ tra $-100$ e $100$ inclusivo sulla lavagna. A ogni turno di Bob scrive il doppio del numero che Alice ha scritto l’ultima volta. Su ogni turno successivo di Alice scrive il numero $45$ inferiore al numero che Bob ha scritto l’ultimo. A un certo punto, il numero $a$ viene scritto sulla lavagna per la seconda volta. Trova il valore di $a$.

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Triangle with integer perimeter and area equal to P squared

A triangle has side lengths $a$, $a$ and $b$. It has perimeter $P$ and area $A$. Given that $b$ and $P$ are integers, and that $P$ is numerically equal to $A^2$, find all possible pairs $(a,b)$.

Topic: Geometria piana, Algebra, Teoria dei Numeri Metodo: Fattorizzazione, Casework Abilita: Manipolazione algebrica, Lettura attenta Area: Geometria, Algebra e Analisi, Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

Triangolo con perimetro interi e superficie pari a P al quadrato

Un triangolo ha lunghezze laterali $a$, $a$ e $b$. Il suo perimetro $P$ e superficie $A$. Dato che $b$ e $P$ sono numeri interi e che $P$ è numericamente uguale a $A^2$, trovare tutte le possibili coppie $(a,b)$.

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Count folding sequences of square paper into n+1 shapes

A square piece of paper is folded in half along a line of symmetry. The resulting shape is then folded in half along a line of symmetry of the new shape. This process is repeated until $n$ folds have been made, giving a sequence of $n+1$ shapes. If we do not distinguish between congruent shapes, find the number of possible sequences when: (a) $n=3$; (b) $n=6$; (c) $n=9$.

(When $n=1$ there are two possible sequences.)

Topic: Combinatoria Metodo: Casework, Ricorsione, Induzione Abilita: Conteggio sistematico, Riconoscimento di pattern, Casework accurato Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF

Contare le sequenze di piegatura di carta quadrata in forme n+1

Un pezzo di carta quadrato è piegato a metà lungo una linea di simmetria. La forma risultante viene poi piegata a metà lungo una linea di simmetria della nuova forma. Questo processo viene ripetuto fino a quando non sono state fatte pieghe $n$, dando una sequenza di forme $n+1$. Se non si fa distinzione tra forme congruenti, si trova il numero di sequenze possibili quando: a) $n=3$; b) $n=6$; c) $n=9$.

(Quando $n=1$ ci sono due possibili sequenze.)

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Find A, B, C, D, E in base-10 cryptarithmetic equation

In the equation $A^{AA}+AA=\text{B,BBC,DED,BEE,BBB,BBE}$ the letters $A$, $B$, $C$, $D$ and $E$ represent different base 10 digits (so the right hand side is a sixteen digit number and $AA$ is a two digit number). Given that $C=9$, find $A$, $B$, $D$ and $E$.

Topic: Teoria dei Numeri Metodo: Casework, Congruenze Abilita: Lettura attenta, Manipolazione algebrica, Conteggio sistematico Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

Ricerca A, B, C, D, E nell’equazione aritmetica criptografica base-10

Nell’equazione $A^{AA}+AA=\text{B,BBC,DED,BEE,BBB,BBE}$ le lettere $A$, $B$, $C$, $D$ e $E$ rappresentano differenti cifre di base 10 (il lato destro è quindi un numero di sedici cifre e $AA$ è un numero di due cifre). Dato che $C=9$, trovare $A$, $B$, $D$ e $E$.

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Tangent circle configuration: AD=DP implies BP=AC

Let points $A$, $B$ and $C$ lie on a circle $\Gamma$. Circle $\Delta$ is tangent to $AC$ at $A$. It meets $\Gamma$ again at $D$ and the line $AB$ again at $P$. The point $A$ lies between points $B$ and $P$. Prove that if $AD=DP$, then $BP=AC$.

Topic: Geometria piana Metodo: Trigonometria Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica, Lettura attenta Area: Geometria Fonte: apri PDF

Configurazione del cerchio tangente: AD=DP implica BP=AC

I punti $A$, $B$ e $C$ si trovano su un cerchio $\Gamma$. Il circolo $\Delta$ è tangente a $AC$ a $A$. Si riunisce a $\Gamma$ a $D$ e alla riga $AB$ a $P$. Il punto $A$ si trova tra i punti $B$ e $P$. Prova che se $AD=DP$, allora $BP=AC$.

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Mersenne prime sum of two powers of 2 implies sum of two squares

Given that an integer $n$ is the sum of two different powers of $2$ and also the sum of two different Mersenne primes, prove that $n$ is the sum of two different square numbers.

(A Mersenne prime is a prime number which is one less than a power of two.)

Topic: Teoria dei Numeri, Algebra Metodo: Congruenze, Casework, Fattorizzazione Abilita: Manipolazione algebrica, Riconoscimento di pattern, Lettura attenta Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

Mersenne prime somma di due potenze di 2 implica somma di due quadrati

Dato che un intero $n$ è la somma di due potenze differenti di $2$ e anche la somma di due numeri primi di Mersenne diversi, dimostrare che $n$ è la somma di due diversi numeri quadrati.

(Un primo di Mersenne è un numero primo che è uno meno di una potenza di due.)

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Pebble game on number line: count winning values of n for each player

Evie and Odette are playing a game. Three pebbles are placed on the number line; one at $-2020$, one at $2020$, and one at $n$, where $n$ is an integer between $-2020$ and $2020$ inclusive. They take it in turns moving either the leftmost or the rightmost pebble to an integer between the other two pebbles. The game ends when the pebbles occupy three consecutive integers.

Odette wins if their sum is odd; Evie wins if their sum is even. For how many values of $n$ can Evie guarantee victory if: (a) Odette goes first; (b) Evie goes first?

Topic: Combinatoria, Teoria dei Numeri Metodo: Invarianti, Casework, Backward Abilita: Ragionamento geometrico, Riconoscimento di pattern, Casework accurato, Lettura attenta Area: Combinatoria, Logica e Probabilita, Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

Gioco di ciambella sulla linea di numeri: contare i valori vincenti di n per ogni giocatore

Evie e Odette stanno giocando. Tre pietre sono posizionate sulla linea numerica; una a $-2020$, una a $2020$ e una a $n$, dove $n$ è un numero intero tra $-2020$ e $2020$ inclusivo. Lo prendono a turno spostando la pietra più sinistra o la pietra più destra a un numero intero tra le altre due pietre. La partita finisce quando le pietre occupano tre numeri interi consecutivi.

Odette vince se la loro somma è strana; Evie vince se la loro somma è pari. Per quanti valori di $n$ Evie può garantire la vittoria se: (a) Odette viene prima; (b) Evie viene prima?

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