Three even numbers under 400 as sums of consecutive odd numbers in 6 ways
Find three even numbers less than 400, each of which can be expressed as a sum of consecutive positive odd numbers in at least six different ways.
(Two expressions are considered to be different if they contain different numbers. The order of the numbers forming a sum is irrelevant.)
Topic: Teoria dei Numeri, Combinatoria Metodo: Fattorizzazione, Casework Abilita: Riconoscimento di pattern, Manipolazione algebrica, Conteggio sistematico Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF
Tre numeri pari inferiori a 400 come somma di numeri odd consecutivi in 6 modi
Trova tre numeri pari inferiori a 400, ognuno dei quali può essere espresso come la somma di numeri odd positivi consecutivi in almeno sei modi diversi.
(Due espressioni sono considerate diverse se contengono numeri diversi. L’ordine dei numeri che formano una somma è irrilevante.)
Minimum games played given four cumulative win percentages exactly 30,40,50,60,70
One day Arun and Disha played several games of table tennis. At five points during the day, Arun calculated the percentage of the games played so far that he had won. The results of these calculations were exactly 30%, exactly 40%, exactly 50%, exactly 60% and exactly 70% in some order. What is the smallest possible number of games they played?
Topic: Teoria dei Numeri, Combinatoria Metodo: Casework, Congruenze Abilita: Manipolazione algebrica, Casework accurato, Lettura attenta Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF
Minimum games played given four cumulative win percentages exactly 30,40,50,60,70
One day Arun and Disha played several games of table tennis. At five points during the day, Arun calculated the percentage of the games played so far that he had won. The results of these calculations were exactly 30%, exactly 40%, exactly 50%, exactly 60% and exactly 70% in some order. What is the smallest possible number of games they played?
Count pile arrangements of gold pieces of weight powers of 2 totalling 2021 grams
For each integer , Eliza has exactly three identical pieces of gold that weigh grams. In how many different ways can she form a pile of gold weighing 2021 grams?
(Two piles are different if they contain different numbers of gold pieces of some weight. The arrangement of the pieces in the piles is irrelevant.)
Topic: Combinatoria, Teoria dei Numeri Metodo: Ricorsione, Casework, Congruenze Abilita: Conteggio sistematico, Manipolazione algebrica, Riconoscimento di pattern Area: Combinatoria, Logica e Probabilita, Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF
Armonizzazione del numero di pile di pezzi d’oro con potenze di peso pari a 2 per un totale di 2021 grammi
Per ogni intero , Eliza ha esattamente tre pezzi identici di oro che pesano grammi. In quanti modi diversi può formare una pila di oro che pesa 2021 grammi?
(Due pile sono diverse se contengono numeri diversi di pezzi d’oro di un certo peso. La disposizione dei pezzi nelle pile è irrilevante.)
Two intersecting circles with point C on minor arc; prove triangle DO1E equilateral
Two circles and have centres and respectively. They pass through each other’s centres and intersect at and . The point lies on the minor arc of . The points and lie on the line such that and . Prove that triangle is equilateral.
(A minor arc of a circle is the shorter of the two arcs with given endpoints.)
Topic: Geometria piana Metodo: Simmetria Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica, Lettura attenta Area: Geometria Fonte: apri PDF
Due cerchi che si intersecano con il punto C su un arco minore; prova triangolo DO1E equilaterale
Due cerchi e hanno rispettivamente i centri e . Passano attraverso i centri dell’altro e si incrociano a e . Il punto si trova sull’arco minore di . I punti e si trovano sulla linea in modo tale che e . Prova che il triangolo è equilaterale.
(Un arco minore di un cerchio è il più breve dei due archi con determinati punti terminali.)
Count N for which smallest possible mean of an N-set is an integer
An -set is a set of different positive integers including a given positive integer . Let be the smallest possible mean of any -set. For how many values of less than 2021 is an integer?
Topic: Teoria dei Numeri, Combinatoria Metodo: Estremalità, Casework Abilita: Manipolazione algebrica, Riconoscimento di pattern, Conteggio sistematico Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF
Conte N per il quale la media più piccola possibile di un insieme N è un intero
Un insieme è un insieme di diversi integri positivi che comprende un dato intero positivo . La media deve essere la più piccola possibile di qualsiasi set . Per quanti valori inferiori al 2021 è un numero intero?
Count lists of integers with 71 terms, first term 1, recursive rule, sum 999999
Marvin has been tasked with writing down every list of integers with the following properties:
(i) The list contains 71 terms.
(ii) The first term is 1.
(iii) Every term after the first is equal to either the previous term, or the sum of all previous terms.
When Marvin is finished, how many of the lists will have a sum equal to 999,999?
Topic: Combinatoria, Teoria dei Numeri Metodo: Ricorsione, Casework, Congruenze Abilita: Riconoscimento di pattern, Conteggio sistematico, Casework accurato Area: Combinatoria, Logica e Probabilita, Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF
Liste di numeri interi con 71 termini, primo termine 1, regola ricorrente, somma 999999
A Marvin è stato incaricato di scrivere ogni elenco di numeri interi con le seguenti proprietà:
I) L’elenco contiene 71 termini.
(ii) Il primo termine è 1.
(iii) Ogni termine dopo il primo è uguale al termine precedente o alla somma di tutti i termini precedenti.
Quando Marvin sarà finito, quante delle liste avranno una somma pari a 999.999?