British Mathematical Olympiad 2023 — Round 1

Three-digit n: exactly 1/k numbers start with digit 2

A road has houses numbered from $1$ to $n$, where $n$ is a three-digit number. Exactly $\frac{1}{k}$ of the numbers start with the digit $2$, where $k$ is a positive integer. Find the possible values of $n$.

Topic: Teoria dei Numeri Metodo: Casework, Fattorizzazione Abilita: Lettura attenta, Conteggio sistematico, Manipolazione algebrica Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

N a tre cifre: esattamente i numeri 1/k iniziano con la cifra 2

Una strada ha case numerate da $1$ a $n$, dove $n$ è un numero a tre cifre. Esattamente $\frac{1}{k}$ dei numeri inizia con la cifra $2$, dove $k$ è un intero positivo. Trova i valori possibili di $n$.

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Sequence with two recurrences; maximise square count among terms

A sequence of positive integers $a_n$ begins with $a_1=a$ and $a_2=b$ for positive integers $a$ and $b$. Subsequent terms in the sequence satisfy the following two rules for all positive integers $n$: $a_{2n+1}=a_{2n}{a}_{2n-1},a_{2n+2}=a_{2n+1}+4.$ Exactly $m$ of the numbers $a_1,a_2,a_3,\dots ,a_{2022}$ are square numbers. What is the maximum possible value of $m$? Note that $m$ depends on $a$ and $b$, so the maximum is over all possible choices of $a$ and $b$.

Topic: Teoria dei Numeri, Algebra Metodo: Casework, Ricorsione, Induzione Abilita: Riconoscimento di pattern, Manipolazione algebrica, Conteggio sistematico Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

Sequenza con due ricorrenze; massimizzare il numero quadrato tra i termini

Una sequenza di integri positivi $a_n$ inizia con $a_1=a$ e $a_2=b$ per gli integri positivi $a$ e $b$. I termini successivi della sequenza soddisfano le seguenti due regole per tutti i numeri interi positivi $n$: $a_{2n+1}=a_{2n}{a}_{2n-1},a_{2n+2}=a_{2n+1}+4.$ Esattamente $m$ dei numeri $a_1,a_2,a_3,\dots ,a_{2022}$ sono numeri quadrati. Qual è il valore massimo possibile di $m$? Si noti che $m$ dipende da $a$ e $b$, quindi il massimo è superiore a tutte le possibili scelte di $a$ e $b$.

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Non-isosceles triangle with midpoints and right-angle conditions; collinearity

In an acute, non-isosceles triangle $ABC$ the midpoints of $AC$ and $AB$ are $B_1$ and $C_1$ respectively. A point $D$ lies on $BC$ with $C$ between $B$ and $D$. The point $F$ is such that $\angle AFC$ is a right angle and $\angle DCF=\angle FCA$. The point $G$ is such that $\angle AGB$ is a right angle and $\angle CBG=\angle GBA$. Prove that $B_1$, $C_1$, $F$ and $G$ are collinear.

Topic: Geometria piana Metodo: Coordinate, Trigonometria Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica, Lettura attenta Area: Geometria Fonte: apri PDF

Triangolo non isoceloso con punti medi e condizioni di angolo rettangolo; collinearità

In un triangolo acuto e non isosceles $ABC$ i punti medi di $AC$ e $AB$ sono rispettivamente $B_1$ e $C_1$. Un punto $D$ si trova su $BC$ con $C$ tra $B$ e $D$. Il punto $F$ è tale che $\angle AFC$ sia un angolo retto e $\angle DCF=\angle FCA$. Il punto $G$ è tale che $\angle AGB$ sia un angolo retto e $\angle CBG=\angle GBA$. Prove che $B_1$, $C_1$, $F$ e $G$ sono collineari.

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8×8 grid game; find maximum guaranteed score for Katy

Alex and Katy play a game on an $8\times 8$ square grid made of $64$ unit cells. They take it in turns to play, with Alex going first. On Alex’s turn, he writes ‘A’ in an empty cell. On Katy’s turn, she writes ‘K’ in two empty cells that share an edge. The game ends when one player cannot move. Katy’s score is the number of Ks on the grid at the end of the game. What is the highest score Katy can be sure to get if she plays well, no matter what Alex does?

Topic: Combinatoria Metodo: Invarianti, Casework, Estremalità Abilita: Ragionamento geometrico, Modellizzazione, Conteggio sistematico Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF

8×8 gioco a griglia; trovare il punteggio massimo garantito per Katy

Alex e Katy giocano su una griglia quadrata di cellule unità $64$. Si girano a turno per giocare, con Alex prima. A sua volta, Alex scrive “A” in una cella vuota. A sua volta, Katy scrive “K” in due celle vuote che condividono un lato. La partita finisce quando un giocatore non può muoversi. Il punteggio di Katy è il numero di K sulla griglia alla fine della partita. Qual e’ il punteggio piu’ alto che Katy puo’ ottenere se suona bene, non importa cosa faccia Alex?

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f(n) counts lists of divisibility; prove N exists dividing f(n)

For each integer $n\ge 1$, let $f(n)$ be the number of lists of different positive integers starting with $1$ and ending with $n$, in which each term except the last divides its successor. Prove that for each integer $N\ge 1$ there is an integer $n\ge 1$ such that $N$ divides $f(n)$.

$(Sof(1)=1,f(2)=1andf(6)=3.)$

Topic: Teoria dei Numeri, Combinatoria Metodo: Induzione, Congruenze, Conteggio, Ricorsione Abilita: Manipolazione algebrica, Riconoscimento di pattern, Astrazione Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF

*f(n) conta le liste di divisibilità; dimostra che N esiste dividendo f(n) *

Per ogni intero $n\ge 1$, $f(n)$ è il numero di elenchi di diversi interi positivi che iniziano con $1$ e terminano con $n$, in cui ogni termine tranne l’ultimo divide il suo successore. Prova che per ogni numero intero $N\ge 1$ esiste un numero intero $n\ge 1$ tale che $N$ divida $f(n)$.

$(Sof(1)=1,f(2)=1andf(6)=3.)$

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Circle Γ, line l, frog jumping between l and Γ; prove return to start

A circle $\Gamma$ has radius $1$. A line $l$ is such that the perpendicular distance from $l$ to the centre of $\Gamma$ is strictly between $0$ and $2$. A frog chooses a point on $\Gamma$ whose perpendicular distance from $l$ is less than $1$ and sits on that point. It then performs a sequence of jumps. Each jump has length $1$ and if a jump starts on $\Gamma$ it must end on $l$ and vice versa. Prove that after some finite number of jumps the frog returns to a point it has been on before.

Topic: Geometria piana, Combinatoria Metodo: Invarianti, Casework, Simmetria Abilita: Ragionamento geometrico, Modellizzazione, Astrazione, Riconoscimento di pattern Area: Geometria, Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF

*Circolo Γ, linea l, rane che saltano tra l e Γ; provare il ritorno al punto di partenza *

Un cerchio $\Gamma$ ha un raggio $1$. Una linea $l$ è tale che la distanza perpendicolare da $l$ al centro di $\Gamma$ sia strettamente tra $0$ e $2$. Una rana sceglie un punto su $\Gamma$ la cui distanza perpendicolare da $l$ è inferiore a $1$ e si trova su quel punto. Poi esegue una sequenza di salti. Ogni salto ha una lunghezza $1$ e se un salto inizia su $\Gamma$ deve finire su $l$ e viceversa. Prova che dopo un numero finito di salti la rana ritorna a un punto su cui è stata prima.

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