British Mathematical Olympiad 2024 — Round 1

Count spellings of OLYMPIADS typable by unreliable typist

An unreliable typist can guarantee that when they try to type a word with different letters, every letter of the word will appear exactly once in what they type, and each letter will occur at most one letter late (though it may occur more than one letter early). Thus, when trying to type MATHS, the typist may type MATHS, MTAHS or TMASH, but not ATMSH.

Determine, with proof, the number of possible spellings of OLYMPIADS that might be typed.

Topic: Combinatoria Metodo: Conteggio, Casework, Induzione Abilita: Conteggio sistematico, Riconoscimento di pattern, Manipolazione algebrica Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF

Conta le ortografie di OLYMPIADS da digitare da un tipografo non affidabile

Un tipografo poco affidabile può garantire che quando cerca di digitare una parola con lettere diverse, ogni lettera della parola apparirà esattamente una volta in quello che digitano, e ogni lettera si verificherà al massimo una lettera in ritardo (anche se può verificarsi più di una lettera in anticipo). Pertanto, quando si tenta di digitare MATHS, il typista può digitare MATHS, MTAHS o TMASH, ma non ATMSH.

Determinare, con la prova, il numero di possibili ortografie di OLYMPIADS che potrebbero essere digitate.

src_bmo1_2024__Q01

Sequence with recurrence implies a_0, a_1 consecutive integers

The sequence of integers $a_0,a_1,\dots$ has the property that for each $i\ge 2$, $a_i$ is either $2a_{i-1}-a_{i-2}$ or $2a_{i-2}-a_{i-1}$.

Given that $a_{2023}$ and $a_{2024}$ are consecutive integers, prove that $a_0$ and $a_1$ are consecutive integers.

(Note that 6 and 7 are consecutive integers, as are 7 and 6.)

Topic: Algebra, Teoria dei Numeri Metodo: Invarianti, Induzione, Backward Abilita: Manipolazione algebrica, Riconoscimento di pattern, Astrazione, Lettura attenta Area: Algebra e Analisi, Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

Sequenza con ricorrenza implica a_0, a_1 numeri interi consecutivi

La sequenza di integri $a_0,a_1,\dots$ ha la proprietà che per ogni $i\ge 2$, $a_i$ è $2a_{i-1}-a_{i-2}$ o $2a_{i-2}-a_{i-1}$.

Dato che $a_{2023}$ e $a_{2024}$ sono numeri interi consecutivi, dimostrare che $a_0$ e $a_1$ sono numeri interi consecutivi.

*(Nota che 6 e 7 sono numeri interi consecutivi, così come 7 e 6.) *

src_bmo1_2024__Q02

Angle bisector and circle construction implies BZ perpendicular to AC

Let $ABC$ be a triangle with $\angle ACB<\angle BAC<90^{\circ }$. Let $X$ and $Y$ be points on $AC$ and the circle $ABC$ respectively such that $X,Y\ne A$ and $BX=BY=BA$. Line $XY$ intersects the circle $ABC$ again at $Z$.

Prove that $BZ$ is perpendicular to $AC$.

Topic: Geometria piana Metodo: Trigonometria, Simmetria Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica, Astrazione Area: Geometria Fonte: apri PDF

Construzione del bisettore angolare e del cerchio implica BZ perpendicolare all’AC

Che $ABC$ sia un triangolo con $\angle ACB<\angle BAC<90^{\circ }$. Il punto $X$ e il punto $Y$ devono essere ponti rispettivamente su $AC$ e sul cerchio $ABC$ in modo tale che $X,Y\ne A$ e $BX=BY=BA$. La linea $XY$ incrocia nuovamente il cerchio $ABC$ a $Z$.

Prova che $BZ$ è perpendicolare a $AC$.

src_bmo1_2024__Q03

Find all positive integers n such that n times 2^n plus 1 is a perfect square

Find all positive integers $n$ such that $n\times 2^n+1$ is a square.

Topic: Teoria dei Numeri, Algebra Metodo: Fattorizzazione, Congruenze, Casework Abilita: Manipolazione algebrica, Conteggio sistematico, Lettura attenta Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

Trova tutti gli integri positivi n in modo tale che n volte 2^n più 1 sia un quadrato perfetto

Trova tutti gli integri positivi $n$ in modo tale che $n\times 2^n+1$ sia un quadrato.

src_bmo1_2024__Q04

1000 red/blue dots on circle; find minimum faults for adjacency

An artist arranges 1000 dots evenly around a circle, with each dot being either red or blue. A critic looks at the artwork and counts faults: each time two red dots are adjacent is one fault, and each time two blue dots are exactly two apart (that is, they have exactly one dot in between them) is another.

What is the smallest number of faults the critic could find?

Topic: Combinatoria Metodo: Estremalità, Casework, Doppio conteggio, Invarianti Abilita: Conteggio sistematico, Modellizzazione, Stima, Riconoscimento di pattern Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF

1000 punti rossi/blu sul cerchio; trovare i difetti minimi per l’adiacenza

Un artista organizza 1000 punti uniformemente intorno a un cerchio, con ogni punto rosso o blu. Un critico guarda l’opera d’arte e conta errori: ogni volta che due punti rossi sono adiacenti è un errore, e ogni volta che due punti blu sono esattamente due a distanza (cioè hanno esattamente un punto tra di loro) è un altro.

Qual è il minor numero di difetti che il critico potrebbe trovare?

src_bmo1_2024__Q05

Convex polygon with equal sides and equal skip-3 diagonals; when must angles be equal?

For some integer $n>4$ a convex polygon has vertices $v_1,v_2,\dots ,v_n$ in that cyclic order. All its sides are the same length. It also has the property that the lengths of the diagonals $v_1{v}_5,v_2{v}_5,\dots ,v_{n-3}{v}_n,v_{n-2}{v}_1,v_2$ and $v_n{v}_3$ are all equal.

For which $n$ is it necessarily the case that the polygon has equal angles?

Topic: Geometria piana, Combinatoria Metodo: Casework, Simmetria, Estremalità Abilita: Ragionamento geometrico, Astrazione, Lettura attenta, Modellizzazione Area: Geometria, Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF

Poligono converso con lati uguali e diagonali uguali di salto a 3; quando devono essere uguali gli angoli?

Per alcuni numeri interi $n>4$ un poligono converso ha vertici $v_1,v_2,\dots ,v_n$ in quell’ordine ciclico. Tutti i lati sono della stessa lunghezza. Ha anche la proprietà che le lunghezze dei diagonali $v_1{v}_5,v_2{v}_5,\dots ,v_{n-3}{v}_n,v_{n-2}{v}_1,v_2$ e $v_n{v}_3$ sono tutte uguali.

Per quale $n$ è necessariamente il caso che il poligono abbia angoli uguali?

src_bmo1_2024__Q06