British Mathematical Olympiad 2025 — Round 1

Classify happy integers n in range 3 to 12

We say that the positive integer $n\ge 3$ is happy if it is possible to arrange $n$ different positive integers in a circle such that two conditions are satisfied:

(a) If integers $u$ and $v$ in the circle are neighbours, then either $u$ divides $v$ or $v$ divides $u$;

(b) If different integers $u$ and $v$ are in the circle but are not neighbours, then neither divides the other.

Determine, with proof, which positive integers $n$ in the range $3\le n\le 12$ are happy.

Topic: Combinatoria, Teoria dei Numeri Metodo: Casework Abilita: Ragionamento geometrico, Conteggio sistematico, Casework accurato, Lettura attenta Area: Combinatoria, Logica e Probabilita, Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

Classificare i numeri interi felici n nell’intervallo da 3 a 12

Diciamo che l’intero positivo $n\ge 3$ è happy se è possibile organizzare $n$ diversi interi positivi in un cerchio in modo tale che siano soddisfatte due condizioni:

(a) Se gli integri $u$ e $v$ del cerchio sono vicini, allora $u$ divide $v$ o $v$ divide $u$;

(b) Se diversi integri $u$ e $v$ sono nel cerchio ma non sono vicini, nessuno di essi divide l’altro.

Determinare, con la prova, quali integri positivi $n$ nell’intervallo $3\le n\le 12$ sono soddisfatti.

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Find n for which magician trick with deck summing to 0 works

A magician performs a trick with a deck of $n$ cards that are numbered from $1$ to $n$. The magician prepares for the trick by putting the cards in an order of her choosing. Then she challenges a member of the audience to write an integer on a board. The magician turns over the cards one by one, in their pre-arranged order. Every time the magician turns over a card, the audience member multiplies the number on the board by $-1$, adds it to the number on the card, writes the result on the board, and erases the old number. The magician guarantees that, no matter which initial integer is chosen, the initial and final numbers will sum to $0$.

Determine for which natural numbers $n$ the magician can perform the trick. You must both prove that the trick is possible for the numbers you claim, and prove that it is not possible for any other numbers.

Topic: Algebra, Combinatoria Metodo: Invarianti, Casework Abilita: Manipolazione algebrica, Riconoscimento di pattern, Ragionamento geometrico, Lettura attenta Area: Algebra e Analisi, Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF

Trova n per il quale il trucco magico con il mazzo sommato a 0 funziona

Un mago esegue un trucco con un mazzo di carte $n$ numerate da $1$ a $n$. La mago si prepara per il trucco mettendo le carte in un ordine di sua scelta. Poi sfida un membro del pubblico a scrivere un numero intero su una lavagna. Il mago gira le carte una per una, nell’ordine predeterminato. Ogni volta che il mago gira una carta, il membro del pubblico moltiplica il numero della scheda di $-1$, la aggiunge al numero della scheda, scrive il risultato sulla scheda e cancella il vecchio numero. Il mago garantisce che, indipendentemente dal numero intero iniziale scelto, i numeri iniziali e finali si sommano a $0$.

Determina per quali numeri naturali il mago può eseguire il trucco. Dovete entrambi dimostrare che il trucco è possibile per i numeri che richiedete, e dimostrare che non è possibile per altri numeri.

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Determine winning strategy in blackboard replacement game

Rhian and Jack are playing a game in which initially the number $10^6$ is written on a blackboard. If the current number on the board is $n$, a move consists of choosing two different positive integers $a,b$ such that $n=ab$ and replacing $n$ with $|a-b|$. Rhian starts, then the players make moves alternately. A player loses if they are unable to move.

Determine, with proof, which player has a winning strategy.

Topic: Combinatoria, Teoria dei Numeri Metodo: Invarianti, Backward, Casework Abilita: Ragionamento geometrico, Riconoscimento di pattern, Lettura attenta Area: Combinatoria, Logica e Probabilita, Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

*Determine la strategia vincente nel gioco di sostituzione del tavolo *

Rhian e Jack stanno giocando a un gioco in cui inizialmente il numero $10^6$ è scritto su una lavagna nera. Se il numero corrente sulla scheda è $n$, una mossa consiste nel scegliere due diversi integri positivi $a,b$ come $n=ab$ e sostituire $n$ con $|a-b|$. Rhian inizia, poi i giocatori fanno mosse alternativamente. Un giocatore perde se non riesce a muoversi.

Determina, con la prova, quale giocatore ha una strategia vincente.

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Prove angle CPB = 90 degrees in acute triangle with midpoint

In the acute-angled triangle $ABC$ we have $AB<AC<BC$. The midpoint of $BC$ is $M$. There is a point $P$ on the line segment $AM$ such that $AB=CP$, and $\angle PAB=\angle BCP$.

Prove that $\angle CPB=90^{\circ }$.

Topic: Geometria piana Metodo: Trigonometria, Simmetria Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica, Lettura attenta Area: Geometria Fonte: apri PDF

Un angolo di prova CPB = 90 gradi in un triangolo acuto con punto medio

Nel triangolo a angolo acuto $ABC$ abbiamo $AB<AC<BC$. Il punto medio di $BC$ è $M$. C’è un punto $P$ sul segmento di linea $AM$ tale che $AB=CP$ e $\angle PAB=\angle BCP$.

Prove che $\angle CPB=90^{\circ }$.

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Prove at least one of (n+1)^p-1 or (n+1)^(p-1)-1 divisible by p

Let $p$ be a prime number, and let $n$ be the smallest positive integer, strictly greater than $1$, for which $n^p-1$ is divisible by $p$.

Prove that at least one of $(n+1{)}^p-1$ and $(n+1{)}^{p-1}-1$ is divisible by $p$.

Topic: Teoria dei Numeri Metodo: Congruenze, Fattorizzazione Abilita: Manipolazione algebrica, Lettura attenta, Ragionamento geometrico Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

Prove almeno uno di (n+1)^p-1 o (n+1)^(p-1)-1 divisibile da p

Che $p$ sia un numero primo, e che $n$ sia il numero intero positivo più piccolo, strettamente superiore a $1$, per il quale $n^p-1$ è divisibile da $p$.

Provare che almeno uno di $(n+1{)}^p-1$ e $(n+1{)}^{p-1}-1$ è divisibile per $p$.

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Prove 12 same-flavour sugar cube pairs at equal distance exist

Björk has 64 sugar cubes, all of size $1\times 1\times 1$. Each sugar cube is either white or demerara or muscovado in flavour. She piles the sugar cubes into a neat $4\times 4\times 4$ cube.

Prove that there must be 12 sugar cubes of the same flavour which can be put into 6 disjoint pairs so that the distance between the centres of the cubes in each pair is the same.

Topic: Combinatoria Metodo: Principio dei cassetti, Doppio conteggio, Colorazione Abilita: Conteggio sistematico, Riconoscimento di pattern, Lettura attenta, Modellizzazione Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF

Prove che esistono 12 coppie di cubi di zucchero dello stesso sapore a uguale distanza

Björk ha 64 cubetti di zucchero, tutti di dimensioni $1\times 1\times 1$. Ogni cubo di zucchero ha un sapore bianco, demeraro o muscovado. Accumula i cubetti di zucchero in un cubo pulito.

Provare che devono esserci 12 cubetti di zucchero dello stesso sapore che possono essere messi in 6 coppie disgiunte in modo che la distanza tra i centri dei cubetti in ciascuna coppia sia uguale.

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