British Mathematical Olympiad 2026 — Round 1

Express p^n as sum of a ramp

A ramp is a sequence of three different positive integers $a,b,c$ such that $a$ is a factor of $b$ and $b$ is a factor of $c$. For every prime number $p$ and every positive integer $n$, determine with proof whether $p^n$ can be expressed as the sum of a ramp.

Topic: Teoria dei Numeri Metodo: Casework, Fattorizzazione Abilita: Manipolazione algebrica, Lettura attenta, Casework accurato Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

Espresso p^n come somma di una rampa

Un ramp è una sequenza di tre diversi integri positivi $a,b,c$ in modo tale che $a$ è un fattore di $b$ e $b$ è un fattore di $c$. Per ogni numero primo $p$ e per ogni numero intero positivo $n$, determinare con prova se $p^n$ può essere espresso come la somma di una rampa.

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Find all real triples satisfying three symmetric equations

Find all triples $(x,y,z)$ of real numbers satisfying the equations $x^2+2yz=4,y^2+2zx=4,z^2+2xy=1.$

Topic: Algebra Metodo: Simmetria, Casework Abilita: Manipolazione algebrica, Ragionamento geometrico Area: Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

Ricerca tutti i tripli reali che soddisfano tre equazioni simmetriche

Trova tutti i triples $(x,y,z)$ dei numeri reali che soddisfano le equazioni $x^2+2yz=4,y^2+2zx=4,z^2+2xy=1.$

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Count ways to reassemble 11x11 grid from L-shaped pieces

An $11\times 11$ square grid is dissected into 11 pieces as follows. At each step, remove the top row and the leftmost column of the remaining grid as a single piece. Thus, the pieces obtained are L-shaped with sizes $21,19,\dots ,3$, together with a single square.

The pieces are rearranged to reassemble an $11\times 11$ grid, with rotations allowed (but the pieces may not be turned over) so that the single square occupies the cell in the third row and third column (counting from the top left).

How many ways can this be done?

Topic: Combinatoria Metodo: Casework, Conteggio Abilita: Conteggio sistematico, Ragionamento geometrico, Casework accurato Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF

Contare i modi per riassemblare la griglia 11x11 da pezzi a forma di L

Una griglia quadrata $11\times 11$ è dissecata in 11 pezzi come segue. A ogni passo, rimuovere la riga superiore e la colonna più sinistra della griglia rimanente come singolo pezzo. Pertanto, i pezzi ottenuti sono a forma di L con dimensioni $21,19,\dots ,3$, insieme ad un singolo quadrato.

I pezzi sono riordinati per riassemblare una griglia $11\times 11$, con rotazioni consentite (ma i pezzi non possono essere girati) in modo che il singolo quadrato occupa la cella nella terza riga e nella terza colonna (contando dall’alto a sinistra).

Quanti modi si possono fare?

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Tangent circle through midpoint of BC meets circle again; prove product relation

Let $ABC$ be an acute-angled triangle with $AB>AC$. Let $M$ be the midpoint of $BC$. The circle passing through $M$ that is tangent to $AB$ at $B$ and the circle passing through $M$ that is tangent to $AC$ at $C$ intersect again at $D$.

Prove that $MA\times MD=MB\times MC$.

Topic: Geometria piana Metodo: Simmetria Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica Area: Geometria Fonte: apri PDF

Circolo di tangente attraverso il punto medio di BC incontra nuovamente il circolo; prova rapporto prodotto

Il $ABC$ deve essere un triangolo acuto con $AB>AC$. $M$ sia il punto medio di $BC$. Il cerchio che attraversa $M$ che è tangente a $AB$ a $B$ e il cerchio che attraversa $M$ che è tangente a $AC$ a $C$ si incrociano di nuovo a $D$.

Prove che $MA\times MD=MB\times MC$.

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Sequence with halving/rounding rules; does it hit every positive integer?

George defines a sequence of positive integers $t_1,t_2,t_3,\dots$ as follows.

He first sets $t_1=1$. Then, for $n\ge 1$: \begin{itemize} \item If $t_n$ is even, then $t_{n+1}=t_n/2$. \item If $t_n$ is odd and greater than 1, then $t_{n+1}=t_n/3$ rounded to the nearest integer. \item If $t_n=1$, then $t_{n+1}=2025k$ where $k$ is the number of terms equal to $1$ amongst $t_1,t_2,\dots ,t_n$. \end{itemize} Does this sequence contain every positive integer?

Topic: Teoria dei Numeri, Combinatoria Metodo: Induzione, Invarianti, Ricorsione Abilita: Riconoscimento di pattern, Manipolazione algebrica, Lettura attenta Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF

Sequenza con regole di dimezzamento/arrotondamento; colpisce ogni numero intero positivo?

George definisce una sequenza di integri positivi $t_1,t_2,t_3,\dots$ come segue.

In primo luogo impone $t_1=1$. Quindi, per $n\ge 1$: \begin{itemize} \item Se $t_n$ è pari, allora $t_{n+1}=t_n/2$. \item Se $t_n$ è pari e superiore a 1, allora $t_{n+1}=t_n/3$ arrotondato al numero intero più vicino. \item Se $t_n=1$, allora $t_{n+1}=2025k$ dove $k$ è il numero di termini uguali a $1$ tra $t_1,t_2,\dots ,t_n$. Questa sequenza contiene ogni intero positivo?

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Frogs on 1000 lily pads; find n for exactly one frog remaining

There are 1000 lily pads on a pond arranged in a circle and labelled $1,2,\dots ,1000$ in order. (The first four lily pads may also be described using the labels 1001, 1002, 1003 and 1004, respectively.) The first $n$ lily pads are each occupied by a frog with the remaining lily pads not occupied.

Each minute, exactly one of the frogs makes a move. Suppose the frog is on lily pad $k$. That frog may either:

(i) Swim to lily pad $k+4$ or $k-4$, provided that it is not occupied; or

(ii) Jump to lily pad $k+3$ or $k-3$ provided that this lily pad is not occupied and the two lily pads jumped over are both occupied. When this happens, the two frogs that were jumped over dive into the pond and don’t participate in any further moves.

For which values of $n$ is it possible, by a sequence of moves, to end with exactly one frog remaining on the lily pads?

Topic: Combinatoria Metodo: Invarianti, Casework, Colorazione Abilita: Riconoscimento di pattern, Conteggio sistematico, Ragionamento geometrico, Modellizzazione Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF

*Rana su 1000 pad di lili; trovare n per esattamente una rana rimanente *

Ci sono 1000 lampadine di lirio su un stagno disposte in cerchio e etichettate in ordine $1,2,\dots ,1000$. (I primi quattro blocchi di lilia possono essere descritti anche utilizzando rispettivamente le etichette 1001, 1002, 1003 e 1004) I primi blocchi di lilia $n$ sono occupati da una rana e i restanti blocchi di lilia non sono occupati.

Ogni minuto, esattamente una delle rane fa una mossa. Supponiamo che la rana sia su un lampadino. La rana può:

(i) Nuotare su un lampadino $k+4$ o $k-4$, purché non sia occupato; o

(ii) Salta al lampadino $k+3$ o $k-3$ purché questo lampadino non sia occupato e le due lampadine saltate siano entrambe occupate. Quando questo accade, le due rane che sono state saltate si immergono nel lago e non partecipano a ulteriori mosse.

Per quali valori di $n$ è possibile, mediante una sequenza di mosse, concludere con esattamente una rana rimasta sui pad del lilio?

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