British Mathematical Olympiad 1972 — Round 2

Assign digits to vertices of regular polygon with adjacency constraints

Show how to assign to the vertices of a regular polygon with $2^n$ vertices, numbers such that (a) only the digits 1 and 2 are used (b) each number has $n$ digits (c) each vertex has a different number, and (d) neighbouring vertices have numbers differing in one and only one digit place.

Topic: Combinatoria Metodo: Induzione, Invarianti Abilita: Ragionamento geometrico, Riconoscimento di pattern, Modellizzazione Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF

Allegare i numeri alle vertici del poligono regolare con restrizioni di adiacenza

Mostrare come assegnare ai vertici di un poligono regolare con vertici $2^n$ numeri in modo che (a) vengano utilizzate solo le cifre 1 e 2 (b) ogni numero abbia cifre $n$ (c) ogni vertice abbia un numero diverso e (d) i vertici vicini abbiano numeri diversi in un solo e solo luogo di una cifra.

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Prove lower bound 2 for cyclic sum S of four positive reals

$a,b,c,d$ are positive numbers and $S=\frac{a+b}{a+b+c}+\frac{b+c}{b+c+d}+\frac{c+d}{c+d+a}+\frac{d+a}{d+a+b}.$ Prove that $S$ is not less than 2, and obtain necessary conditions for $S=4$.

Topic: Disuguaglianze, Algebra Metodo: Disuguaglianze, Simmetria Abilita: Manipolazione algebrica, Stima, Lettura attenta Area: Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

Prove il limite inferiore 2 per la somma ciclica S di quattro valori reali positivi

$a,b,c,d$ sono numeri positivi e $S=\frac{a+b}{a+b+c}+\frac{b+c}{b+c+d}+\frac{c+d}{c+d+a}+\frac{d+a}{d+a+b}.$ Provare che $S$ non è inferiore a 2, e ottenere le condizioni necessarie per $S=4$.

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Find n when every two strangers share same friend count and friendship number is 5

There are $n$ persons present at a meeting. Every two persons are either friends of each other or strangers to each other. No two friends have a friend in common. Every two strangers have the same number of friends at the meeting. Prove that each person has the same number of friends at the meeting. If this number is 5, find $n$.

Topic: Combinatoria Metodo: Grafi, Doppio conteggio, Casework Abilita: Ragionamento geometrico, Modellizzazione, Conteggio sistematico, Astrazione Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF

Trova n quando ogni due sconosciuti condividono lo stesso numero di amici e il numero di amicizia è 5

Ci sono persone $n$ presenti in una riunione. Ogni due persone sono o amiche l’una dell’altra o estranee l’una all’altra. Non ci sono due amici che abbiano un amico in comune. Ogni sconosciuto ha lo stesso numero di amici in riunione. Prove che ogni persona abbia lo stesso numero di amici alla riunione. Se questo numero è 5, trova $n$.

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Find all points P with weighted sum of distances equal to k times abc

When $k=1$ find all points $P$ in space such that $a\cdot PA+b\cdot PB+c\cdot PC=k\cdot abc,$ where $a,b,c$ are the lengths of the sides $BC$, $CA$, $AB$ of triangle $ABC$, and prove your result. What is the effect of altering $k$?

Topic: Geometria piana, Geometria solida, Disuguaglianze Metodo: Disuguaglianze, Coordinate Abilita: Ragionamento geometrico, Modellizzazione, Manipolazione algebrica, Lettura attenta Area: Geometria, Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

Ricerca tutti i punti P con la somma ponderata delle distanze uguale a k per abc

Quando $k=1$ trovi tutti i punti $P$ nello spazio in modo tale che $a\cdot PA+b\cdot PB+c\cdot PC=k\cdot abc,$ dove $a,b,c$ sono le lunghezze dei lati $BC$, $CA$, $AB$ del triangolo $ABC$, e prova il risultato. Qual è l’ effetto di alterare $k$?

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