British Mathematical Olympiad 1974 — Round 2

Prove triangle ABC right-angled; prove identity with circumcentre and centroid

(i) In $△ABC$, ${\sin }^{2}A+{\sin }^{2}B+{\sin }^{2}C=2$. Prove that $△ABC$ is right-angled.

(ii) If $O$ is the circumcentre and $G$ the centroid of $△ABC$, prove that $9O{G}^2=R^2(1-8\cos A\cos B\cos C)$.

Topic: Geometria piana, Trigonometria Metodo: Trigonometria Abilita: Manipolazione algebrica, Ragionamento geometrico Area: Geometria Fonte: apri PDF

Prove il triangolo ABC rettangolare; prova l’identità con il circoncentro e il centroide

(i) In $△ABC$, ${\sin }^{2}A+{\sin }^{2}B+{\sin }^{2}C=2$. Prove che $△ABC$ è rettangolare.

(ii) Se $O$ è il circoncentro e $G$ il centroide di $△ABC$, dimostrare che $9O{G}^2=R^2(1-8\cos A\cos B\cos C)$.

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Polygonal line in 50×50 square with distance constraint; prove length > 1248

A polygonal line is a continuous line $A_1{A}_2{A}_3\dots A_{n+1}$, where, for $i=1$ to $n$, $A_i{A}_{i+1}$ is a straight line segment.

In a square of side 50, a polygonal line $L$ is constructed in such a way that the distance of any point inside the square from $L$ (i.e. from the nearest point on $L$) is less than 1. Prove that the length of $L$ is greater than 1248.

Topic: Geometria piana, Combinatoria Metodo: Estremalità, Casework Abilita: Ragionamento geometrico, Stima, Modellizzazione Area: Geometria, Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF

*Linea poligonale in 50 ×50 quadrati con vincolo di distanza; prova lunghezza > 1248 *

Una linea poligonale è una linea continua $A_1{A}_2{A}_3\dots A_{n+1}$, dove, per $i=1$ a $n$, $A_i{A}_{i+1}$ è un segmento di linea retta.

In un quadrato di lato 50, una linea poligonale $L$ è costruita in modo tale che la distanza di qualsiasi punto all’interno del quadrato da $L$ (cioè dal punto più vicino su $L$) è inferiore a 1. Prova che la lunghezza di $L$ è superiore a 1248.

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Circular hoop of radius 1 in corner of room; find locus of centre

A circular hoop of radius 1 is placed in the corner of the room. (The corner consists of a horizontal floor and two perpendicular vertical walls and the hoop touches all three planes.) Find the locus of the centre of the hoop.

Topic: Geometria solida, Geometria analitica Metodo: Coordinate Abilita: Ragionamento geometrico, Modellizzazione, Manipolazione algebrica Area: Geometria Fonte: apri PDF

Anello circolare di raggio 1 nell’angolo della stanza; trovare locus del centro

Un cerchio circolare di raggio 1 è posizionato nell’angolo della stanza. (L’angolo è costituito da un pavimento orizzontale e due pareti verticali perpendicolari e il cerchio tocca tutti e tre i piani).

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Cube roots of three distinct primes not in AP; or find x^8+y^8+z^8 given symmetric sums

EITHER

(a) Show that the cube roots of three distinct prime numbers cannot be three terms (not necessarily consecutive) of an arithmetic progression.

OR

(b) $x+y+z=3$, $x^3+y^3+z^3=15$, and $x^8+y^8+z^8=35$. Being given that $x^2+y^2+z^2$ is less than 10, find $x^8+y^8+z^8$.

Topic: Algebra, Teoria dei Numeri Metodo: Congruenze, Fattorizzazione Abilita: Manipolazione algebrica, Lettura attenta, Riconoscimento di pattern Area: Algebra e Analisi, Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

Rotte cubiche di tre numeri primi distinti non in AP; o trovare x^8+y^8+z^8 date somme simmetriche

ETHER

(a) Mostrare che le radici cubiche di tre numeri primi distinti non possono essere tre termini (non necessariamente consecutivi) di una progressione aritmetica.

OR

b) $x+y+z=3$, $x^3+y^3+z^3=15$ e $x^8+y^8+z^8=35$. Dato che $x^2+y^2+z^2$ è inferiore a 10, si trova $x^8+y^8+z^8$.

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