British Mathematical Olympiad 1975 — Round 2

Characterise real functions satisfying Cauchy-type functional equations

In this question a “real function” means a function $f$ such that $f(x)$ exists and is real for all real numbers $x$.

(i) Show that there is only one value of the constant $b$ for which a real function $f$ exists with the property that, for all real $x$ and $y$, $f(x+y)=f(x)+bxy.$

(ii) A real function $f$ has the property that for all real $x$ and $y$ $f(x+y)=f(x)+f(y)+cxy$ where $c$ is a constant.

(a) Prove that if $f$ is continuous at $x=0$ then it is continuous everywhere.

(b) Prove that if $f$ is differentiable everywhere, and find the most general $f$ in this case.

Topic: Equazioni funzionali, Algebra Metodo: Induzione Abilita: Manipolazione algebrica, Lettura attenta, Astrazione Area: Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

Caricare funzioni reali che soddisfano le equazioni funzionali di tipo Cauchy

In questa domanda una “funzione reale” significa una funzione $f$ tale che $f(x)$ esista ed è reale per tutti i numeri reali $x$.

(i) Indicare che esiste solo un valore della costante $b$ per la quale esiste una funzione reale $f$ con la proprietà che, per tutte le realtà $x$ e $y$, $f(x+y)=f(x)+bxy.$

(ii) Una funzione reale $f$ ha la proprietà che per tutte le funzioni reali $x$ e $y$ $f(x+y)=f(x)+f(y)+cxy$ dove $c$ è una costante.

(a) dimostrare che se $f$ è continuo a $x=0$ allora è continuo ovunque.

b) dimostrare che se $f$ è differenziabile ovunque, e trovare il $f$ più generale in questo caso.

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Prove every positive integer not in a given infinite set belongs to the sum of two or more members

Prove that every positive integer which is not a member of the infinite set $3,-2,2^2\cdot 3,-2^3,\dots ,2^{2k}\cdot 3,-2^{2k+1},\dots$ is equal to the sum of two or more members of the set.

Topic: Teoria dei Numeri, Combinatoria Metodo: Induzione, Casework Abilita: Riconoscimento di pattern, Manipolazione algebrica, Conteggio sistematico Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF

Prove che ogni intero positivo non in un dato insieme infinito appartiene alla somma di due o più membri

Prova che ogni intero positivo che non è membro del set infinito $3,-2,2^2\cdot 3,-2^3,\dots ,2^{2k}\cdot 3,-2^{2k+1},\dots$ è uguale alla somma di due o più membri del set.

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Probability room A fills with n contestants before room B

There are $n$ countries taking part in an international mathematical competition, with two contestants from each country. The competition is held in two rooms, $A$ and $B$. At the start of the competition the $2n$ contestants form a queue, in any order. The contestant at the head of the queue goes first to the door of room $A$. Each subsequent contestant goes first to the door of room $A$. If his fellow-countryman is not already in the room he enters it; otherwise he enters the other room. (So competitors from the same country are separated.) If all orders of queuing are equally likely, determine with proof the probability that room $A$ is filled with $n$ contestants before room $B$.

Topic: Probabilità, Combinatoria Metodo: Conteggio, Induzione, Simmetria Abilita: Modellizzazione, Conteggio sistematico, Ragionamento geometrico, Lettura attenta Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF

La sala di probabilità A si riempie di n concorrenti prima della sala B

Ci sono paesi che partecipano a un concorso internazionale di matematica, con due concorrenti di ciascun paese. Il concorso si svolge in due sale, $A$ e $B$. All’inizio del concorso i concorrenti $2n$ formano una coda, in qualsiasi ordine. Il concorrente in testa alla coda va per primo alla porta della stanza $A$. Ogni concorrente successivo va prima alla porta della stanza $A$. Se il suo compatriota non è già nella stanza, entra; altrimenti entra nell’altra stanza. Se tutti gli ordini di coda sono ugualmente probabili, determinare con prova la probabilità che la stanza $A$ sia riempita di concorrenti $n$ prima della stanza $B$.

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Prove a configuration of 12 equal circles exists on a sphere

The diagram illustrates a configuration of 12 circles. The set $S$ of 12 circles contains three subsets $S_3$, $S_4$, $S_5$ each having 4 circles and such that each of the 4 circles of $S_r$ touches $r$ circles of $S$.

Prove that such a configuration of 12 circles exists on the surface of a sphere with all the 12 circles having equal radii.

Topic: Geometria solida Metodo: Coordinate, Simmetria Abilita: Ragionamento geometrico, Modellizzazione, Astrazione Area: Geometria Fonte: apri PDF

Prove che esiste una configurazione di 12 cerchi uguali su una sfera

Il diagramma illustra una configurazione di 12 cerchi. L’insieme $S$ di 12 cerchi contiene tre sottoinsiemi $S_3$, $S_4$, $S_5$, ognuno di cui ha 4 cerchi e in modo tale che ciascuno dei 4 cerchi di $S_r$ tocchi $r$ cerchi di $S$.

Prova che una tale configurazione di 12 cerchi esiste sulla superficie di una sfera con tutti i 12 cerchi con uguali raggi.

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