British Mathematical Olympiad 1976 — Round 2

Through a point P inside triangle ABC, lines parallel to the medians meet the sides; prove a sum of three ratios is constant.

Through a point $P$ in the interior of a fixed triangle $ABC$ lines $PL$, $PM$, $PN$ are drawn parallel to the medians through $A$, $B$, $C$ respectively to meet $BC$, $CA$, $AB$ at $L$, $M$, $N$ respectively. Prove $\frac{BL}{BC}+\frac{CM}{CA}+\frac{AN}{AB}$ is constant (independent of $P$).

Topic: Geometria piana Metodo: Coordinate Abilita: Ragionamento geometrico Area: Geometria Fonte: apri PDF

Attraverso un punto P all’interno del triangolo ABC, le linee parallele ai mediani incontrano i lati; dimostrare che la somma di tre rapporti è costante.

Attraverso un punto $P$ all’interno di un triangolo fisso $ABC$ le linee $PL$, $PM$, $PN$ sono disegnate parallele alle medie rispettivamente attraverso $A$, $B$, $C$ per raggiungere $BC$, $CA$, $AB$ rispettivamente a $L$, $M$ e $N$. La prova $\frac{BL}{BC}+\frac{CM}{CA}+\frac{AN}{AB}$ è costante (indipendente da $P$).

src_bmo2_1976__Q01

A real root t of a monic polynomial whose coefficients are bounded in absolute value by 1 satisfies a stated interval bound.

The real number $t$ is a root of the equation $x^n+a_2{x}^{n-2}+a_3{x}^{n-3}+\dots +a_n=0,(n\ge 2),$ where the coefficients are real and satisfy $-1\le a_r\le 1$, $(2\le r\le n)$. Prove that $-\frac{1}{2}(1+\sqrt{5})\le t\le \frac{1}{2}(1+\sqrt{5}).$

Topic: Algebra, Disuguaglianze Metodo: Disuguaglianze Abilita: Manipolazione algebrica, Stima Area: Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

Una radice reale t di un polinomio monico i cui coefficienti sono delimitati in valore assoluto da 1 soddisfa un intervallo di limite indicato.

Il numero reale $t$ è una radice dell’equazione $x^n+a_2{x}^{n-2}+a_3{x}^{n-3}+\dots +a_n=0,(n\ge 2),$ dove i coefficienti sono reali e soddisfano $-1\le a_r\le 1$, $(2\le r\le n)$. Provare che $-\frac{1}{2}(1+\sqrt{5})\le t\le \frac{1}{2}(1+\sqrt{5}).$

src_bmo2_1976__Q02

Show one cubic equation has only the trivial integer solution, while a sign-changed version has infinitely many positive-integer solutions, two of which share the same ratio x:y:z.

Prove that the equation $x^3-3y^2+5z^2-7=0$ has no solutions in integers $x,y,z$. Prove that $x^3-3y^2-5z^2+7=0$ has infinitely many solutions in positive integers $x,y,z$, in two of which the ratio $x:y:z$ is the same.

Topic: Teoria dei Numeri Metodo: Congruenze Abilita: Manipolazione algebrica, Lettura attenta Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

Mostra che un’equazione cubica ha solo la soluzione di un numero intero triviale, mentre una versione modificata dal segno ha infinite soluzioni di un numero intero positivo, due delle quali condividono lo stesso rapporto x:y:z.

Prova che l’equazione $x^3-3y^2+5z^2-7=0$ non ha soluzioni in numeri interi $x,y,z$. Prova che $x^3-3y^2-5z^2+7=0$ ha infinite soluzioni in numeri interi positivi $x,y,z$, in due dei quali il rapporto $x:y:z$ è lo stesso.

src_bmo2_1976__Q03

Prove no positive integers p, q satisfy the given rational approximation bound for the square root of 2.

Prove that it is not possible to find positive integers $p$ and $q$ with the property that $\left|\sqrt{2}-\frac{p}{q}\right|<\frac{2}{11q^2}.$

Topic: Teoria dei Numeri, Disuguaglianze Metodo: Disuguaglianze Abilita: Manipolazione algebrica Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

Non si dimostrano numeri interi positivi p, q soddisfano il limite di approssimazione razionale dato per la radice quadrata di 2.

Prove che non è possibile trovare integri positivi $p$ e $q$ con la proprietà che $\left|\sqrt{2}-\frac{p}{q}\right|<\frac{2}{11q^2}.$

src_bmo2_1976__Q04

A figure-of-eight curve S made of two touching equal circles; show a pair of distinct congruent hexagons exists with three stated vertex and symmetry properties.

A ‘figure-of-eight’ curve, $S$, consists of two touching circles of equal radii. Show that a pair of two distinct congruent hexagons (not necessarily convex) exists with the following properties:

(a) All the vertices of the hexagons lie on $S$.

(b) Neither hexagon has all its vertices on one circle.

(c) Neither hexagon can be obtained from the other by a single translation, a single rotation or a single reflection.

Topic: Geometria piana, Combinatoria Metodo: Simmetria Abilita: Ragionamento geometrico, Astrazione Area: Geometria, Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF

Una curva a figura di otto S fatta di due cerchi uguali che si toccano; mostra che esiste una coppia di esagoni congruenti distinti con tre proprietà di vertice e simmetria dichiarate.

Una curva di “figure di otto”, $S$, è costituita da due cerchi che si toccano di uguali radii. Mostrare che esiste una coppia di due esagoni congruenti distinti (non necessariamente convexi) con le seguenti proprietà:

(a) Tutti i vertici degli esagoni si trovano su $S$.

b) Nessun sesagono ha tutte le sue vertici su un unico cerchio.

(c) Nessun esagono può essere ottenuto dall’altro con una singola traduzione, una singola rotazione o un singolo riflesso.

src_bmo2_1976__Q05