Quadratic satisfying mod condition on given points
are given points of the interval such that The quadratic function of the form where are real constants, satisfies the condition Prove that for all in . Show by means of an example that this proposition becomes false if is replaced by any smaller number.
Topic: Algebra, Disuguaglianze Metodo: Disuguaglianze, Estremalità Abilita: Manipolazione algebrica, Stima, Lettura attenta Area: Algebra e Analisi Fonte: apri PDF
Condizione di mod quadratico soddisfacente su determinati punti
vengono dati punti dell’intervallo in modo tale che La funzione quadrata della forma in cui sono costanti reali soddisfa la condizione Prove che per tutti in . Mostra con un esempio che questa proposizione diventa falsa se viene sostituita da un numero più piccolo.
Inscribed circles of triangular faces of pyramid touch base
A pyramid is formed by joining the vertices of a plane quadrilateral , the “base”, to a point outside its plane. It is found that the inscribed circles of each pair of adjacent triangular faces touch each other. Prove that the points of contact of the inscribed circles with the base of the pyramid lie on a circle.
Topic: Geometria piana, Geometria solida Metodo: Simmetria Abilita: Ragionamento geometrico, Lettura attenta Area: Geometria Fonte: apri PDF
Circoli incisi delle facce triangolari della base toccante della piramide
Una piramide si forma unendo le vertici di un quadrilaterale piano , la “base”, a un punto al di fuori del suo piano. Si scopre che i cerchi incisi di ciascun paio di facce triangolari adiacenti si toccano. Prove che i punti di contatto dei cerchi incisi con la base della piramide si trovano su un cerchio.
Integer solutions of Diophantine equation or arithmetic progression
EITHER (a) Prove that if is any given integer then the equation has a solution in integers .
OR (b) Prove that in the arithmetic progression where are positive integers, there exists an infinite set of terms having the same prime divisors.
Topic: Teoria dei Numeri Metodo: Induzione, Congruenze Abilita: Manipolazione algebrica, Riconoscimento di pattern, Lettura attenta Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF
Soluzioni integrali dell’equazione diofantina o della progressione aritmetica
EITHER (a) Prova che se è un dato numero intero, allora l’equazione ha una soluzione in numeri interi .
O (b) Prova che nella progressione aritmetica dove sono interi positivi, esiste un insieme infinito di termini con gli stessi divisori primi.
Necklace with adjacent beads of different colours possible construction
Prove that for each integer it is possible to construct a necklace having beads in all, these beads in different colours, in such a way that for each pair of different colours there is at least one pair of adjacent beads of these two colours. Is it possible to do the same using beads in all? Give a reason for your answer. (A “necklace” is a circular arrangement of beads, with no fastener intervening; an ample supply of beads of all the colours is assumed to be available.)
Topic: Combinatoria Metodo: Conteggio, Induzione, Casework Abilita: Conteggio sistematico, Modellizzazione, Riconoscimento di pattern, Astrazione Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF
Nellace con coralle adiacenti di diversi colori possibile costruzione
Prove che per ogni numero intero è possibile costruire un collare con perle in tutto, queste perle in di colori diversi, in modo tale che per ogni coppia di colori diversi ci sia almeno un paio di perle adiacenti di questi due colori. È possibile fare lo stesso utilizzando perle in tutto? Datemi una ragione per la vostra risposta. (Un “colletto” è un’impostazione circolare di perle, senza alcun attaccamento; si presume che sia disponibile un ampio approvvigionamento di perle di tutti i colori.)