Convex pentagons with unit triangle property, prove infinitely many non-congruent
A plane convex pentagon is said to have the “unit triangle property” if the area of each of the triangles , , , , is unity. Show that all plane convex pentagons with the unit triangle property have the same area and that there is an infinite number of such pentagons no two of which are congruent.
Topic: Geometria piana Metodo: Simmetria, Estremalità Abilita: Ragionamento geometrico, Astrazione, Manipolazione algebrica Area: Geometria Fonte: apri PDF
Pentagoni convex con proprietà del triangolo unitario, dimostrano infinite quantità di non congruenti
Si dice che un pentagono converso piano abbia la “proprietà del triangolo unitario” se l’area di ciascuno dei triangoli , , , , è unità. Mostrare che tutti i pentagoni convexi a piano con la proprietà del triangolo unitario hanno la stessa area e che ci sono un numero infinito di questi pentagoni, di cui non due sono congruenti.
Sequence where each digit except last has opposite parity to successor
Given any integer prove that there exists an infinity of positive integers such that the last decimal digits of form a sequence in which each digit except the last is of opposite parity to its successor; i.e. if one is odd then the next is even and vice versa.
Topic: Teoria dei Numeri Metodo: Congruenze, Induzione Abilita: Manipolazione algebrica, Riconoscimento di pattern, Lettura attenta Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF
Sequenza in cui ogni cifra tranne l’ultima ha parità opposta al successore
Dato qualsiasi numero intero dimostrare che esiste un’infinità di numeri interi positivi tale che le ultime cifre decimali di formino una sequenza in cui ogni cifra tranne l’ultima è di parità opposta al suo successore; cioè Se uno è strano, il prossimo è pari e viceversa.
Find all roots of a given sum with sign-alternating binomial-like terms
Determine with proof all the roots of the equation where is a given positive integer.
Topic: Algebra, Teoria dei Numeri Metodo: Induzione, Fattorizzazione Abilita: Manipolazione algebrica, Riconoscimento di pattern, Lettura attenta Area: Algebra e Analisi, Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF
Ricerca tutte le radici di una data somma con termini binomiali simili a segni alternativi
Determinare con prova tutte le radici dell’equazione dove è un dato intero positivo.
Count distributions of four different books to n friends under given rules
There are sufficient stocks of four different books for a publisher to give a copy of each to each of his friends. However he decides to distribute presents to them according to the following rules:
(i) at least one copy of each of the four books is to be given out;
(ii) each friend is to have exactly two of the four books (these two not being copies of the same book);
(iii) the friends who receive any one particular book must form a set different from the set of friends who receive any other particular book.
Show that the number of ways in which the distribution can be made is
Topic: Combinatoria Metodo: Conteggio, Casework, Doppio conteggio Abilita: Conteggio sistematico, Casework accurato, Modellizzazione, Lettura attenta Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF
Conta le distribuzioni di quattro libri diversi a n amici secondo le regole indicate
Ci sono sufficienti scorte di quattro libri diversi per un editore di dare una copia di ciascuno a ciascuno dei suoi amici. Tuttavia decide di distribuire loro i regali secondo le seguenti regole:
- almeno una copia di ciascuno dei quattro libri;
(ii) ogni amico deve avere esattamente due dei quattro libri (questi due non sono copie dello stesso libro);
(iii) gli amici che ricevono un libro specifico devono formare un insieme diverso da quello degli amici che ricevono un altro libro specifico.
Indicare che il numero di modi in cui la distribuzione può essere effettuata è