British Mathematical Olympiad 1979 — Round 2

Prove inequality for four different positive reals or find counterexample

$a,b,c,d$ are different positive real numbers. Prove that if at least one of the numbers $c$ and $d$ lies between the numbers $a$ and $b$, or at least one of the numbers $a$ and $b$ lies between the numbers $c$ and $d$, then $(\ast )\sqrt{(a+b)(c+d)}\ge \sqrt{ab}+\sqrt{cd}.$ Otherwise show that the four numbers can be chosen so that $(\ast )$ is false.

Topic: Algebra, Disuguaglianze Metodo: Casework, Disuguaglianze Abilita: Manipolazione algebrica, Casework accurato, Lettura attenta Area: Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

Prove la disuguaglianza per quattro differenti valori positivi o trova il contromodo

$a,b,c,d$ sono diversi numeri reali positivi. Prova che se almeno uno dei numeri $c$ e $d$ si trova tra i numeri $a$ e $b$, o almeno uno dei numeri $a$ e $b$ si trova tra i numeri $c$ e $d$, allora $(\ast )\sqrt{(a+b)(c+d)}\ge \sqrt{ab}+\sqrt{cd}.$ dimostra altrimenti che i quattro numeri possono essere scelti in modo tale che $(\ast )$ sia falso.

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Two equilateral triangles share vertex C; prove triangles O’M and OA’B’ similar

Two equilateral triangles have a common vertex $C$. Going round each triangle in the anti-clockwise direction the vertices are lettered $C,A,B$ and $C,A^{\prime },B^{\prime }$. $O$ is the centre of triangle $CAB$ and neither $A^{\prime }$ nor $B^{\prime }$ coincides with $O$. $M$ is the midpoint of $A^{\prime }{B}^{\prime }$ and $N$ is the midpoint of $A{B}^{\prime }$. Prove that triangles $O^{\prime }MN$ and $O{A}^{\prime }{B}^{\prime }$ are similar.

Topic: Geometria piana Metodo: Coordinate, Trigonometria Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica, Lettura attenta Area: Geometria Fonte: apri PDF

Due triangoli equilaterali condividono il vertice C; dimostrare che i triangoli O’M e OA’B’ sono simili

Due triangoli equilaterali hanno un vertice comune $C$. Circondando ogni triangolo nella direzione antiorologiale, i vertici sono scritti $C,A,B$ e $C,A^{\prime },B^{\prime }$. $O$ è il centro del triangolo $CAB$ e né $A^{\prime }$ né $B^{\prime }$ coincidono con $O$. $M$ è il punto medio di $A^{\prime }{B}^{\prime }$ e $N$ è il punto medio di $A{B}^{\prime }$. Provare che i triangoli $O^{\prime }MN$ e $O{A}^{\prime }{B}^{\prime }$ sono simili.

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Sequence defined by floor sums; determine a_1979

The sequence of positive integers $a_n$ is defined by $a_0=1979,a_{n+1}=\lfloor \frac{1}{2}(a_0+a_1+a_2+\cdots +a_n)\rfloor (n\ge 0),$ where $\lfloor x\rfloor$ denotes the greatest integer not greater than $x$. (For example $\lfloor 3\rfloor =3$ and $\lfloor 5\rfloor =5$.) Determine $a_{1979}$.

Topic: Teoria dei Numeri, Algebra Metodo: Ricorsione, Induzione, Invarianti Abilita: Riconoscimento di pattern, Manipolazione algebrica, Lettura attenta Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

Sequenza definita con somme di fondo; determina a_1979

La sequenza di numeri interi positivi $a_n$ è definita da $a_0=1979,a_{n+1}=\lfloor \frac{1}{2}(a_0+a_1+a_2+\cdots +a_n)\rfloor (n\ge 0),$ dove $\lfloor x\rfloor$ indica il numero intero più grande non superiore a $x$. (ad esempio $\lfloor 3\rfloor =3$ e $\lfloor 5\rfloor =5$.) Determinare $a_{1979}$.

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Binary digit sum identity for all positive integers

Let $b(k)$ denote the number of $1$‘s in the binary expansion of the non-negative integer $k$. For example $b(13)=3$ since $13$ is $1101$ in binary. Prove that for all positive integers $n$, ${\sum }_{k=0}^{2^n-1}(-1{)}^{b(k)}{k}^n=(-1{)}^n\cdot 2^{\frac{1}{2}n(n-1)}.$

Topic: Combinatoria, Algebra Metodo: Induzione, Doppio conteggio, Fattorizzazione Abilita: Manipolazione algebrica, Riconoscimento di pattern, Astrazione Area: Combinatoria, Logica e Probabilita, Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

Identificazione della somma binaria dei numeri interi positivi

$b(k)$ indichi il numero di $1$ nell’espansione binaria del numero intero non negativo $k$. Ad esempio $b(13)=3$ dal momento che $13$ è $1101$ in binario. Prova che per tutti gli integri positivi $n$, ${\sum }_{k=0}^{2^n-1}(-1{)}^{b(k)}{k}^n=(-1{)}^n\cdot 2^{\frac{1}{2}n(n-1)}.$

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