British Mathematical Olympiad 1980 — Round 2

Tetrahedra VLMN and VABC sharing vertex V: incentre-centroid coincidence, volume comparison

VLMN and VABC are tetrahedra with $A$, $B$, $C$ on $VL$, $VM$, $VN$ produced, so that the in-centre of triangle $LMN$ coincides with the centroid of triangle $ABC$. (i) Determine the ratios $\frac{VA}{VL}$, $\frac{VB}{VM}$, $\frac{VC}{VN}$ in terms of the sides of triangle $LMN$ and $VL$, $VM$, $VN$. (ii) Determine the condition that the tetrahedra have equal volumes. (iii) If the tetrahedra have unequal volumes, determine, with proof, which has the greater volume.

Topic: Geometria solida, Geometria piana Metodo: Coordinate, Simmetria Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica, Lettura attenta Area: Geometria Fonte: apri PDF

Tetraedra VLMN e VABC che condividono il vertice V: coincidenza incentro-centroid, confronto volume

VLMN e VABC sono tetraedri con $A$, $B$, $C$ su $VL$, $VM$, $VN$ prodotti, in modo che il centro del triangolo $LMN$ coincida con il centroide del triangolo $ABC$. (i) Determinare i rapporti $\frac{VA}{VL}$, $\frac{VB}{VM}$, $\frac{VC}{VN}$ in termini di lati del triangolo $LMN$ e $VL$, $VM$, $VN$. (ii) Determinare la condizione che i tetraedri abbiano volumi uguali. (iii) Se i tetraedri hanno volumi diseguali, determinare, con la prova, quale ha il volume maggiore.

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Find all prime numbers in an integer sequence defined by recurrence

Determine, with proof, the prime numbers in the sequence $\{u_n\}$ of integers defined by $u_0=2,u_1=3,$ $u_{n+2}=u_{n+1}\cdot u_n+u_{n+1}-u_n+2(n\ge 0).$

Topic: Teoria dei Numeri, Algebra Metodo: Induzione, Congruenze, Fattorizzazione Abilita: Riconoscimento di pattern, Manipolazione algebrica, Lettura attenta Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

Ricerca tutti i numeri primi in una sequenza di numeri interi definita da ricorrenza

Determinare, con prova, i numeri primi nella sequenza $\{u_n\}$ di numeri interi definiti da $u_0=2,u_1=3,$ $u_{n+2}=u_{n+1}\cdot u_n+u_{n+1}-u_n+2(n\ge 0).$

src_bmo2_1980__Q02

Prove a sum inequality for real sequences with equality condition

If $a_0=a_1=0$, $a_2,\dots ,a_n$ are real numbers, then ${\sum }_{i=1}^n(a_i-a_{i-1}{)}^2\ge \frac{1}{n}{\left({\sum }_{i=1}^n(a_i-a_{i-1})\right)}^2,$ equality holding if and only if $a_{i+1}-a_i=a_i-a_{i-1}$ ($0\le i\le n$).

Topic: Disuguaglianze, Algebra Metodo: Disuguaglianze Abilita: Manipolazione algebrica, Lettura attenta, Stima Area: Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

Prove una disuguaglianza sommata per sequenze reali con condizione di uguaglianza

Se $a_0=a_1=0$, $a_2,\dots ,a_n$ sono numeri reali, allora ${\sum }_{i=1}^n(a_i-a_{i-1}{)}^2\ge \frac{1}{n}{\left({\sum }_{i=1}^n(a_i-a_{i-1})\right)}^2,$ tenuta di uguaglianza se e solo se $a_{i+1}-a_i=a_i-a_{i-1}$ ($0\le i\le n$).

src_bmo2_1980__Q03

Show n people can play bridge as opponents exactly once iff n = 4m

Given a set of $n$ people, it is desired to arrange a series of bridge games such that every two of the $n$ people play as opponents exactly once. Show that this can be done if and only if $n$ is of the form $n=4m$, where $m$ is a positive integer. (There is no restriction on the number of times, if any, two people play as partners.)

Topic: Combinatoria Metodo: Doppio conteggio, Casework, Invarianti Abilita: Modellizzazione, Conteggio sistematico, Lettura attenta Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF

Mostra n persone possono giocare bridge come avversari esattamente una volta se n = 4m

Dato un insieme di persone $n$, è desiderabile organizzare una serie di giochi di bridge in modo tale che ogni due persone $n$ giocino come avversari esattamente una volta. Mostrare che questo può essere fatto se e solo se $n$ è di forma $n=4m$, dove $m$ è un intero positivo. (Non vi è alcuna limitazione sul numero di volte, se del caso, in cui due persone giocano come partner.)

src_bmo2_1980__Q04