British Mathematical Olympiad 1983 — Round 2

Minimise sum of squared distances from a point on a line

Two points $A$, $B$ and a line $\ell$ are given in a plane. Locate, with proof, the point $F$ on $\ell$ such that $F{A}^2+F{B}^2$ is a minimum, where $F$ is the foot of the perpendicular from $F$ to $\ell$.

Give a presentation without proof for three points $A$, $B$, $C$ and $F{A}^2+F{B}^2+F{C}^2$ a minimum.

Topic: Geometria analitica, Algebra Metodo: Estremalità, Coordinate Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica Area: Geometria, Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

Minimizzare la somma delle distanze quadrate da un punto su una linea

Due punti $A$, $B$ e una linea $\ell$ sono indicati in un piano. Indicare, con la prova, il punto $F$ su $\ell$ in modo tale che $F{A}^2+F{B}^2$ sia un minimo, dove $F$ è il piede della perpendicolare da $F$ a $\ell$.

Presentare una presentazione senza prova per almeno tre punti $A$, $B$, $C$ e $F{A}^2+F{B}^2+F{C}^2$.

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Nine-point circle of triangle; circumcentre perpendicular to side

Consider the nine-point circle of the triangle $ABC$, that is, the three distinct circles each of which touches one side of triangle $ABC$ internally and the other two externally. Both these internally touching circles have just one common tangent which is not a side of triangle $ABC$, and the three such common tangents form a triangle $T$.

$O$ is the circumcentre of triangle $ABC$. Prove that $OA$ is perpendicular to a side of $T$.

Topic: Geometria piana Metodo: Simmetria Abilita: Ragionamento geometrico, Lettura attenta Area: Geometria Fonte: apri PDF

Circolo triangolare di nove punti; circoncidente perpendicolare al lato

Considerate il cerchio a nove punti del triangolo $ABC$, cioè i tre cerchi distinti ognuno dei quali tocca un lato del triangolo $ABC$ internamente e gli altri due esternamente. Entrambi questi cerchi interamente toccanti hanno solo una tangente comune che non è un lato del triangolo $ABC$, e i tre tali tangenti comuni formano un triangolo $T$.

$O$ è il circoncentro del triangolo $ABC$. Prova che $OA$ è perpendicolare a un lato di $T$.

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Three lines in space; constant length segment RS

$\ell$, $m$, $n$ are three lines in space. Neither $\ell$ nor $m$ is perpendicular to $n$. Points $P$ on $\ell$ and $Q$ on $m$ are such that $PQ$ is perpendicular to $n$. The plane through $P$ perpendicular to $\ell$ meets $m$ at $R$, and the plane through $Q$ perpendicular to $m$ meets $\ell$ at $S$. Prove that $RS$ is of constant length.

Topic: Geometria solida Metodo: Coordinate Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica, Lettura attenta Area: Geometria Fonte: apri PDF

Tre linee nello spazio; segmento di lunghezza costante RS

$\ell$, $m$, $n$ sono tre linee nello spazio. Né $\ell$ né $m$ sono perpendicolari a $n$. I punti $P$ su $\ell$ e $Q$ su $m$ sono tali che $PQ$ sia perpendicolare a $n$. Il piano attraverso $P$ perpendicolare a $\ell$ incontra $m$ a $R$, e il piano attraverso $Q$ perpendicolare a $m$ incontra $\ell$ a $S$. Provare che $RS$ è di lunghezza costante.

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Inequality for six positive reals: sum of ab/(a+b) type

Prove that if $a$, $b$, $c$, $d$, $e$, $f$ are positive real numbers then $\frac{ab}{a+b}+\frac{cd}{c+d}+\frac{ef}{e+f}\le \frac{(a+c+e)(b+d+f)}{a+b+c+d+e+f}.$

Topic: Disuguaglianze Metodo: Disuguaglianze Abilita: Manipolazione algebrica, Ragionamento geometrico Area: Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

*Ineguaglianza per sei valori reali positivi: somma del tipo ab/(a+b) *

Prova che se $a$, $b$, $c$, $d$, $e$, $f$ sono numeri reali positivi allora $\frac{ab}{a+b}+\frac{cd}{c+d}+\frac{ef}{e+f}\le \frac{(a+c+e)(b+d+f)}{a+b+c+d+e+f}.$

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Count arrangements of 1–8 satisfying seven order conditions

Find the number of arrangements $a,b,c,d,e,f,g,h$ of the numbers $1,2,3,4,5,6,7,8$ which satisfy all seven conditions $a<b,c<d,e<f,g<h\text{and}b>c,d>e,f>g.$

Topic: Combinatoria Metodo: Conteggio, Casework Abilita: Conteggio sistematico, Riconoscimento di pattern Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF

Conteggi di conteggio di 18 che soddisfano sette condizioni di ordine

Trova il numero di accordi $a,b,c,d,e,f,g,h$ dei numeri $1,2,3,4,5,6,7,8$ che soddisfano tutte le sette condizioni $a<b,c<d,e<f,g<h\text{and}b>c,d>e,f>g.$

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Find all positive integer pairs (n,k) with (n+1)^k = n!+1

$n$ and $k$ are positive integers. Find all pairs $(n,k)$ satisfying $(n+1{)}^k=n!+1,$ proving that you have the complete set of solutions.

Topic: Teoria dei Numeri Metodo: Casework, Fattorizzazione, Congruenze Abilita: Manipolazione algebrica, Casework accurato, Riconoscimento di pattern Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

Ricerca tutte le coppie di integri positivi (n,k) con (n+1)^k = n!+1

$n$ e $k$ sono integri positivi. Trova tutte le coppie $(n,k)$ soddisfacenti $(n+1{)}^k=n!+1,$ che dimostrano di avere l’insieme completo delle soluzioni.

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Colony of (mn+1) mice: antichain of size m+1 or chain of size n+1

In a colony of $(mn+1)$ mice, prove that at least one of the following statements is true:

(a) There is a set $A$ of $(m+1)$ mice none of which is a parent of any other in the set.

(b) There is an ordered set $B$ of $(n+1)$ mice $a_1,a_2,\dots ,a_n,a_{n+1}$ such that $a_{i+1}$ is a parent of $a_i$ for each $i=1,2,\dots ,n$.

Topic: Combinatoria Metodo: Estremalità, Principio dei cassetti, Induzione Abilita: Ragionamento geometrico, Astrazione, Modellizzazione Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF

Colonia di topi (mn+1): anticetena di dimensione m+1 o catena di dimensione n+1

In una colonia di topi $(mn+1)$, dimostrare che almeno una delle seguenti affermazioni è vera:

(a) C’è un insieme $A$ di topi $(m+1)$ nessuno dei quali è genitore di nessun altro nel gruppo.

b) Esiste un insieme ordinato $B$ di topi $(n+1)$ $a_1,a_2,\dots ,a_n,a_{n+1}$ in modo tale che $a_{i+1}$ sia il genitore di $a_i$ per ciascun $i=1,2,\dots ,n$.

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