British Mathematical Olympiad 1984 — Round 2

Right triangle ABC: find points D with two distance conditions

The triangle $ABC$ is right-angled at $C$. Find all the points $D$ in the plane satisfying the conditions $AD\cdot BC=AC\cdot BD=\frac{1}{\sqrt{2}}AB\cdot CD.$

Topic: Geometria piana Metodo: Coordinate Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica, Lettura attenta Area: Geometria Fonte: apri PDF

Triangolo retto ABC: trovare i punti D con due condizioni di distanza

Il triangolo $ABC$ è angolato a destra a $C$. Trova tutti i punti $D$ nel piano che soddisfano le condizioni $AD\cdot BC=AC\cdot BD=\frac{1}{\sqrt{2}}AB\cdot CD.$

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Tetrahedron ABCD with equal edges; plane through midpoints minimises quadrilateral area

$ABCD$ is a tetrahedron with $DA=DB=DC=d$ and $AB=BC=CA=e$. $M$ and $N$ are the midpoints of $AB$ and $CD$. A plane $\pi$ passes through $MN$ and cuts $AD$ and $BC$ at $P$ and $Q$ respectively.

(i) Prove that $AP/AD=BQ/BC$ ($=t$, say).

(ii) Determine with proof that value of $t$, expressed in terms of $d$ and $e$, which minimises the area of the quadrilateral $MQNP$.

Topic: Geometria solida Metodo: Coordinate, Simmetria Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica, Lettura attenta Area: Geometria Fonte: apri PDF

Tetraedro ABCD con bordi uguali; piano attraverso i punti medi riduce al minimo l’area quadrilaterale

$ABCD$ è un tetraedro con $DA=DB=DC=d$ e $AB=BC=CA=e$. $M$ e $N$ sono i punti intermedi di $AB$ e $CD$. Un piano $\pi$ passa attraverso $MN$ e taglia $AD$ e $BC$ rispettivamente a $P$ e $Q$.

(i) dimostrare che $AP/AD=BQ/BC$ ($=t$, per esempio).

ii) Determinare con prova che il valore di $t$, espresso in termini di $d$ e $e$, riduce al minimo l’area del quadrilaterale $MQNP$.

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Find maximum and minimum of cos α + cos β + cos γ with angle sum constraint

Find, with proof, the maximum and minimum values of $\cos \alpha +\cos \beta +\cos \gamma ,$ where $\alpha \ge 0$, $\beta \ge 0$, $\gamma \ge 0$ and $\alpha +\beta +\gamma =\frac{4\pi }{3}.$

Topic: Disuguaglianze, Trigonometria Metodo: Disuguaglianze, Simmetria, Estremalità Abilita: Manipolazione algebrica, Ragionamento geometrico, Stima Area: Algebra e Analisi, Geometria Fonte: apri PDF

Ricerca il massimo e il minimo di cos α + cos β + cos γ con la limitazione della somma dell’angolo

Trova, con prova, i valori massimi e minimi di $\cos \alpha +\cos \beta +\cos \gamma ,$ dove $\alpha \ge 0$, $\beta \ge 0$, $\gamma \ge 0$ e $\alpha +\beta +\gamma =\frac{4\pi }{3}.$

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Count full expressions for n as sums of powers of 2; prove recurrence

Let $b_n$ be the number of ways of expressing the positive integer $n$ as a sum of one or more, not necessarily distinct, powers of $2$; here $1$ ($=2^0$) is regarded as a power of $2$. Order of the summands is immaterial, so for instance $b_4=4$, the expressions in question being $1+1+1+1,1+1+2,2+2,4.$ Call such an expression $full$ if it includes at least one summand $2^i$ for $0\le i\le k$, where $2^k$ is the largest summand occurring in it. For example the first two of the above expressions for $4$ are full, the others are not. Let $c_n$ be the number of full expressions for $n$. Prove that $c_{n+1}=2c_n$ for $m\ge 1$.

Topic: Combinatoria, Teoria dei Numeri Metodo: Induzione, Ricorsione, Biiezione Abilita: Conteggio sistematico, Riconoscimento di pattern, Lettura attenta, Manipolazione algebrica Area: Combinatoria, Logica e Probabilita, Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

Contare le espressioni complete per n come somma di poteri di 2; provare la ricorrenza

$b_n$ sia il numero di modi di esprimere il numero intero positivo $n$ come somma di una o più potenze non necessariamente distinte di $2$; qui $1$ ($=2^0$) è considerato una potenza di $2$. L’ordine delle sommazioni è irrilevante, quindi ad esempio $b_4=4$, le espressioni in questione sono $1+1+1+1,1+1+2,2+2,4.$ Chiamare tale espressione $full$ se include almeno una somma $2^i$ per $0\le i\le k$, dove $2^k$ è la somma più grande che vi si verifica. Per esempio, le prime due espressioni di $4$ sono complete, le altre non lo sono. $c_n$ è il numero di espressioni complete per $n$. Provare che $c_{n+1}=2c_n$ per $m\ge 1$.

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Polynomial approximation to p/q on interval of length 1/q

Let $p$ and $q$ be positive integers. Show that there exists an interval $I$ of length $\frac{1}{q}$ and a polynomial $P$ with integer coefficients such that, for all $x$ in $I$, $\left|P(x)-\frac{p}{q}\right|\le \frac{1}{q^2}.$

Topic: Algebra, Teoria dei Numeri Metodo: Estremalità, Casework Abilita: Manipolazione algebrica, Modellizzazione, Lettura attenta Area: Algebra e Analisi, Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

approssimazione polinomica a p/q in intervallo di lunghezza 1/q

Lasciate che $p$ e $q$ siano integri positivi. Mostrare che esiste un intervallo $I$ di lunghezza $\frac{1}{q}$ e un polinomio $P$ con coefficienti interi in modo che, per tutti $x$ in $I$, $\left|P(x)-\frac{p}{q}\right|\le \frac{1}{q^2}.$

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