British Mathematical Olympiad 1985 — Round 2

Tangent lengths at chord endpoints via inscribed angle

$O$ is a point outside a circle. Two lines $OAB$, $OCD$ through $O$ meet the circle at $A,B,C,D$ with $A,C$ the midpoints of $OB,OD$ respectively. Also the acute angle $\theta$ between the lines is equal to the acute angle at which each line cuts the circle. Find $\cos \theta$ and show that the tangents at $A,D$ to the circle meet on the line $BC$.

Topic: Geometria piana Metodo: Trigonometria, Simmetria Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica, Lettura attenta Area: Geometria Fonte: apri PDF

Lunghezza di tangente nei punti di fine dell’accordo con angolo inciso

$O$ è un punto fuori da un cerchio. Due linee $OAB$, $OCD$ e $O$ incontrano il cerchio a $A,B,C,D$ con $A,C$ rispettivamente i punti di mezzo di $OB,OD$. Inoltre l’angolo acuto $\theta$ tra le linee è uguale all’angolo acuto in cui ciascuna linea taglia il cerchio. Trova $\cos \theta$ e mostra che le tangenti di $A,D$ al cerchio si incontrano sulla linea $BC$.

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Evil positive integers and binary representation

A positive integer is called evil if the number of digits $1$ in its binary expansion is even. Find the sum of the first $1985$ evil positive integers.

Topic: Teoria dei Numeri, Combinatoria Metodo: Induzione, Ricorsione, Congruenze Abilita: Riconoscimento di pattern, Conteggio sistematico, Manipolazione algebrica Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF

Anteri positivi cattivi e rappresentazione binaria

Un intero positivo è chiamato male se il numero di cifre $1$ nella sua espansione binaria è pari. Trova la somma dei primi $1985$ numeri interi positivi cattivi.

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Product of five consecutive integers is never a perfect square

Prove that the product of five consecutive positive integers is never a perfect square.

Topic: Teoria dei Numeri Metodo: Fattorizzazione, Casework Abilita: Manipolazione algebrica, Ragionamento geometrico, Lettura attenta Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

Il prodotto di cinque numeri interi consecutivi non è mai un quadrato perfetto

Prova che il prodotto di cinque numeri interi positivi consecutivi non è mai un quadrato perfetto.

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Mongolian leader’s deputy handshakes at IMO jury session

Delegations from $30$ countries took part in a session of the International Mathematical Olympiad jury — the leaders and their deputies, $60$ people in all. During the session some of the participants shook hands with each other but no leader shook hands with his deputy and no two people shook hands more than once. After the session the leader of the Mongolian team asked everybody how many times they had shaken hands. All the participants answered and the numbers they gave were all different. How many times did the Mongolian leader’s deputy shake hands?

For full credit you must establish clearly that your answer is the only one consistent with the conditions.

Topic: Combinatoria Metodo: Principio dei cassetti, Estremalità, Casework Abilita: Ragionamento geometrico, Conteggio sistematico, Lettura attenta, Astrazione Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF

Stocco di mano del vice leader mongolo alla sessione della giuria dell’IMO

Delegazioni provenienti dai paesi $30$ hanno partecipato a una sessione della giuria delle Olimpiadi Matematiche Internazionali i leader e i loro deputati, $60$ persone in generale. Durante la sessione alcuni dei partecipanti si sono stretti la mano l’uno all’altro, ma nessun leader ha stretto la mano al suo vice e non due persone hanno stretto la mano più di una volta. Dopo la sessione il leader della squadra mongola chiese a tutti quante volte avevano stretto la mano. Tutti i partecipanti hanno risposto e i numeri che hanno dato erano tutti diversi. Quante volte il vice leader mongolo ha dato la mano?

Per ottenere il pieno credito dovrai stabilire chiaramente che la tua risposta è l’unica coerente con le condizioni.

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Tetrahedral circumsphere and insphere orthocentre foot identity

$ABCD$ is a tetrahedron which has a circumsphere passing through $A,B,C,D$ and an insphere touching each triangular face at an interior point of that face. The two spheres have the same centre $O$. $H$ is the orthocentre of triangle $ABC$ and $H^{\prime }$ is the foot of the perpendicular from $D$ on to the plane of that triangle.

Prove that $AB=CD$, $AC=BD$, $AD=BC$ and that $OH=O{H}^{\prime }$.

Topic: Geometria solida Metodo: Simmetria, Coordinate Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica, Astrazione, Lettura attenta Area: Geometria Fonte: apri PDF

Circumferenza tetraedrale e insfera identità del piede ortocentrico

$ABCD$ è un tetraedro che ha una circonferenza che passa attraverso $A,B,C,D$ e un’insfera che tocca ogni faccia triangolare in un punto interno di quella faccia. Le due sfere hanno lo stesso centro $O$. $H$ è l’ortocentro del triangolo $ABC$ e $H^{\prime }$ è il piede della perpendicolare da $D$ verso il piano di quel triangolo.

Provare che $AB=CD$, $AC=BD$, $AD=BC$ e che $OH=O{H}^{\prime }$.

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