British Mathematical Olympiad 1986 — Round 2

Rational centre of direct similarity between two rational triangles

Plane rectangular Cartesian axes are given with equal unit length along each axis. A rational point is defined as a point both of whose coordinates are rational numbers.

$A,B,A^{\prime },B^{\prime }$ are four distinct rational points; $A$ and $B$ are on the $x$-axis. Prove that if $AB=A^{\prime }{B}^{\prime }$, there exists just one point $P$ such that the triangles $PAB$, $P{A}^{\prime }{B}^{\prime }$ are directly similar, i.e. each can be obtained from the other by enlargement (dilatation) and rotation about $P$. Prove also that $P$ is a rational point.

Topic: Geometria analitica, Geometria piana Metodo: Coordinate, Simmetria Abilita: Manipolazione algebrica, Ragionamento geometrico, Lettura attenta Area: Geometria Fonte: apri PDF

Centro razionale di similezza diretta tra due triangoli razionali

Gli assi cartesiani rettangolari a piano sono dati con uguale lunghezza unitaria lungo ogni asse. Un punto razionale è definito come un punto le cui coordinate sono entrambi numeri razionali.

$A,B,A^{\prime },B^{\prime }$ sono quattro punti razionali distinti; $A$ e $B$ sono sull’asse $x$. Prove che se $AB=A^{\prime }{B}^{\prime }$, esiste solo un punto $P$ tale che i triangoli $PAB$, $P{A}^{\prime }{B}^{\prime }$ siano direttamente simili, cioè ciascuno può essere ottenuto dall’altro mediante ingrandimento (dilatazione) e rotazione di circa $P$. Prova anche che $P$ è un punto razionale.

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Greatest value of $x^{2}y+y^{2}z+z^{2}x$ subject to two constraints

Find, with proof, the greatest value of $x^{2}y+y^{2}z+z^{2}x$ where $x,y,z$ are real numbers satisfying the conditions $x+y+z=0,x^2+y^2+z^2=6.$

Topic: Algebra, Disuguaglianze Metodo: Disuguaglianze, Estremalità, Simmetria Abilita: Manipolazione algebrica, Ragionamento geometrico, Stima Area: Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

Il valore massimo di $x^{2}y+y^{2}z+z^{2}x$ soggetto a due restrizioni

Trovare, con prova, il valore massimo di $x^{2}y+y^{2}z+z^{2}x$ dove $x,y,z$ sono numeri reali che soddisfano le condizioni $x+y+z=0,x^2+y^2+z^2=6.$

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Elements of two-element subsets each appearing exactly twice

$P_1,P_2,\dots ,P_n$ are $n$ distinct subsets of $\{1,2,\dots ,n\}$ each having two elements. $P_i$ and $P_j$ ($i\ne j$) have an element in common if and only if $\{i,j\}$ is one of the subsets $P_k$. Prove that each of $1,2,\dots ,n$ belongs to exactly two of the $P_k$.

Topic: Combinatoria, Insiemi e funzioni Metodo: Grafi, Doppio conteggio, Induzione Abilita: Astrazione, Modellizzazione, Ragionamento geometrico, Conteggio sistematico Area: Combinatoria, Logica e Probabilita, Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

Elementi di sottoinsiemi di due elementi che appaiono esattamente due volte ciascuno

$P_1,P_2,\dots ,P_n$ sono $n$ sottogruppi distinti di $\{1,2,\dots ,n\}$, ognuno dei quali ha due elementi. $P_i$ e $P_j$ ($i\ne j$) hanno un elemento in comune se e solo se $\{i,j\}$ è uno dei sottogruppi $P_k$. Prova che ciascuna delle $1,2,\dots ,n$ appartiene esattamente a due delle $P_k$.

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Divisibility of product of binomial coefficients and gcd determination

Show that if $m,n$ are positive integers with $m\le n$, then the product $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{1}\right)\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{2}\right)\cdots \left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{m}\right)$ is divisible by $n$. Find with proof the smallest positive integer $k$ such that the product $k\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{1}\right)\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{2}\right)\cdots \left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{m}\right)$ is divisible by $n^2$ for all integers $m,n$ with $2\le m\le n$. [$k$ is to be independent of $m,n$.] For this $k$ and given $m$, determine, with proof, the greatest common divisor of the integers $\frac{k}{n^2}\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{1}\right)\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{2}\right)\cdots \left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{m}\right)$, $2\le m\le n$.

Topic: Teoria dei Numeri, Combinatoria Metodo: Congruenze, Fattorizzazione, Induzione, Doppio conteggio Abilita: Manipolazione algebrica, Conteggio sistematico, Ragionamento geometrico, Lettura attenta Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF

Divisibilità del prodotto dei coefficienti binomiali e determinazione gcd

Indicare che se $m,n$ sono integri positivi con $m\le n$, il prodotto $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{1}\right)\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{2}\right)\cdots \left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{m}\right)$ è divisibile da $n$. Trova con prova il più piccolo intero positivo $k$ in modo tale che il prodotto $k\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{1}\right)\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{2}\right)\cdots \left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{m}\right)$ sia divisibile da $n^2$ per tutti gli integri $m,n$ con $2\le m\le n$. [$k$ deve essere indipendente da $m,n$.] Per questo $k$ e dato $m$, determinare, con prova, il più grande divisore comune degli interi $\frac{k}{n^2}\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{1}\right)\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{2}\right)\cdots \left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{m}\right)$, $2\le m\le n$.

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Locus of midpoint of segment joining endpoints of parallel chords on two circles

$C_1$ and $C_2$ are two circles; $A_1$, $A_2$ are fixed points on $C_1$, $C_2$ respectively. $A_1{P}_1$, $A_2{P}_2$ are parallel chords of $C_1$, $C_2$ respectively. Find the locus of the midpoint of $P_1{P}_2$.

Topic: Geometria piana, Geometria analitica Metodo: Coordinate, Simmetria Abilita: Ragionamento geometrico, Modellizzazione, Riconoscimento di pattern Area: Geometria Fonte: apri PDF

Locus del punto medio del segmento che unisce i punti terminali di accordi paralleli su due cerchi

$C_1$ e $C_2$ sono due cerchi; $A_1$, $A_2$ sono punti fissi rispettivamente su $C_1$ e $C_2$. $A_1{P}_1$, $A_2{P}_2$ sono accordi paralleli rispettivamente di $C_1$ e $C_2$. Trova il locus del punto medio di $P_1{P}_2$.

src_bmo2_1986__Q05