British Mathematical Olympiad 1988 — Round 2

Two circles tangent to equilateral triangle sides; find ratio AP/AC

$ABC$ is an equilateral triangle. The circle ${\Gamma }_1$ has centre $A$ and radius $AB$. ${\Gamma }_2$ is the circle on $AB$ as diameter. A circle with centre $P$ on $AC$ touches ${\Gamma }_1$ internally at $C$ and ${\Gamma }_2$ externally at $Q$. Show that $AP/AC=4/5$ and calculate the ratio $AQ/AC$.

Topic: Geometria piana Metodo: Coordinate Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica Area: Geometria Fonte: apri PDF

Due cerchi tangenti ai lati del triangolo equilaterale; trovare rapporto AP/AC

$ABC$ è un triangolo equilaterale. Il cerchio ${\Gamma }_1$ ha centro $A$ e raggio $AB$. ${\Gamma }_2$ è il cerchio su $AB$ come diametro. Un cerchio con il centro $P$ su $AC$ tocca ${\Gamma }_1$ internamente a $C$ e ${\Gamma }_2$ esternamente a $Q$. Indicare che $AP/AC=4/5$ e calcolare il rapporto $AQ/AC$.

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Count arrangements of 2n objects in pairs, order immaterial

Prove that the number of ways of arranging $2n$ distinguishable objects in $n$ pairs is $1\cdot 3\cdot 5\cdots (2n-1)$ if the order of the pairs and the order of the objects within each pair are both immaterial. For $4$ objects $a,b,c,d$ the $3$ pairings are $ab,cd$; $ac,bd$; $ad,bc$.

A party of $10$ people consisting of $5$ married couples is to be split into $5$ pairs. A pair may consist of two men, two women or a man and a woman, but must not be a married couple. In how many ways can this arrangement be made if order, as above, is immaterial? Explain your reasoning carefully.

Topic: Combinatoria Metodo: Conteggio, Inclusione-esclusione, Induzione Abilita: Conteggio sistematico, Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF

Conteggi di conteggio di 2n oggetti in coppie, ordine immateriale

Dimostrare che il numero di modi di organizzare gli oggetti $2n$ distinguibili in coppie $n$ è $1\cdot 3\cdot 5\cdots (2n-1)$ se l’ordine delle coppie e l’ordine degli oggetti all’interno di ciascuna coppia sono entrambi immateriali. Per gli oggetti $4$ $a,b,c,d$ le abbinamenti $3$ sono $ab,cd$; $ac,bd$; $ad,bc$.

Un gruppo di persone $10$ costituito da coppie sposate $5$ è diviso in coppie $5$. Una coppia può essere composta da due uomini, due donne o da un uomo e una donna, ma non deve essere una coppia sposata. In quanti modi si può fare questo accordo se l’ordine, come sopra, è insignificante? Spiega attentamente il tuo ragionamento.

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Find value of a^4+b^4+c^4-2abc given symmetric equations in x,y,z

The numbers $a$, $b$, $c$, $x$, $y$, $z$ satisfy the equations $x^4-y^4-z^4=2ayz$ $-x^4+y^4-z^4=2bxz$ $-x^4-y^4+z^4=2cxy$ and also $xyz\ne 0$.

By using the first two equations express $z$ in terms of $a$, $b$, $x$, $y$. Prove that $x^2(1-b^2)=y^2(1-a^2)=xy(ab-c)$ and hence find the value of $a^4+b^4+c^4-2abc$ (independently of $x$, $y$, $z$).

Topic: Algebra Metodo: Fattorizzazione, Simmetria Abilita: Manipolazione algebrica, Lettura attenta Area: Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

Ricerca il valore di a^4+b^4+c^4-2abc dato alle equazioni simmetriche in x,y,z

I numeri $a$, $b$, $c$, $x$, $y$, $z$ soddisfano le equazioni $x^4-y^4-z^4=2ayz$ $-x^4+y^4-z^4=2bxz$ $-x^4-y^4+z^4=2cxy$ e anche $xyz\ne 0$.

Usando le prime due equazioni si esprime $z$ in termini di $a$, $b$, $x$, $y$. Prove che $x^2(1-b^2)=y^2(1-a^2)=xy(ab-c)$ e quindi trova il valore di $a^4+b^4+c^4-2abc$ (indipendentemente da $x$, $y$, $z$).

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Find all positive integer solutions of 1/x + 2/y - 3/z = 1

Find, with proof, all solutions of $\frac{1}{x}+\frac{2}{y}-\frac{3}{z}=1$ where $x$, $y$, $z$ are positive integers.

Topic: Teoria dei Numeri Metodo: Casework, Fattorizzazione Abilita: Conteggio sistematico, Manipolazione algebrica, Casework accurato Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

Ricerca tutte le soluzioni integrali positive di 1/x + 2/y - 3/z = 1

Trova, con prova, tutte le soluzioni di $\frac{1}{x}+\frac{2}{y}-\frac{3}{z}=1$ dove $x$, $y$, $z$ sono integri positivi.

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Point on segment between two skew lines lies on fixed circle

$L$ and $M$ are two skew lines in space, ie they neither meet nor are parallel. $A$, $B$ are the points on $L$, $M$ respectively such that $AB$ is perpendicular to both $L$ and $M$. Points $P$ on $L$, $Q$ on $M$ vary so that $P\ne A,Q\ne B,PQ\text{ is of constant length}.$ Show that the centre of the sphere through $A$, $B$, $P$, $Q$ lies on a fixed circle with centre the midpoint of $AB$.

Topic: Geometria solida Metodo: Coordinate, Simmetria Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica, Modellizzazione Area: Geometria Fonte: apri PDF

Il punto di segmento tra due linee debole si trova su un cerchio fisso

$L$ e $M$ sono due linee skew nello spazio, cioè non si incontrano né sono parallele. $A$, $B$ sono i punti di $L$ e $M$ rispettivamente in modo tale che $AB$ sia perpendicolare sia a $L$ che a $M$. I punti $P$ su $L$, $Q$ su $M$ variano in modo tale che $P\ne A,Q\ne B,PQ\text{ is of constant length}.$ Mostri che il centro della sfera attraverso $A$, $B$, $P$, $Q$ si trova su un cerchio fisso con il centro del punto medio di $AB$.

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Triangle inequality preserved under componentwise square-root of sum of squares

Prove that if $a_1$, $b_1$, $c_1$ and $a_2$, $b_2$, $c_2$ are the lengths of the sides of two triangles (in some unit of measurement) then $a=\sqrt{a_1^2+a_2^2},b=\sqrt{b_1^2+b_2^2},c=\sqrt{c_1^2+c_2^2}$ are also the lengths of the sides of some triangle.

Topic: Disuguaglianze, Geometria piana Metodo: Disuguaglianze Abilita: Manipolazione algebrica, Ragionamento geometrico, Stima Area: Algebra e Analisi, Geometria Fonte: apri PDF

*Le disuguaglianze triangolari conservate sotto la radice quadrata della somma dei quadrati *

Prova che se $a_1$, $b_1$, $c_1$ e $a_2$, $b_2$, $c_2$ sono le lunghezze dei lati di due triangoli (in qualche unità di misura), allora $a=\sqrt{a_1^2+a_2^2},b=\sqrt{b_1^2+b_2^2},c=\sqrt{c_1^2+c_2^2}$ sono anche le lunghezze dei lati di un triangolo.

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