British Mathematical Olympiad 1989 — Round 2

Find smallest positive integer a for quadratic with two roots in (0,1)

Find the smallest positive integer $a$ with the property:

There exist integers $b,c$ such that the equation $a{x}^2-bx+c=0$ has two distinct roots in the interval $0<x<1$.

Topic: Algebra, Teoria dei Numeri Metodo: Casework, Estremalità Abilita: Manipolazione algebrica, Lettura attenta, Ragionamento geometrico Area: Algebra e Analisi, Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

Trova il più piccolo intero positivo a per quadratici con due radici in (0,1)

Trova il numero intero positivo più piccolo $a$ con la proprietà:

Esistono numeri interi $b,c$ in modo che l’equazione $a{x}^2-bx+c=0$ abbia due radici distinte nell’intervallo $0<x<1$.

src_bmo2_1989__Q01

Count arrangements of letters where each letter is adjacent to an identical letter

Find the number of different arrangements in a row of the letters $A,A,A,A,B,B,B,B,C,C,C,C$ such that each letter is adjacent to an identical letter.

Indicate if you can a generalisation to the case of $n$ letters each appearing five times.

Topic: Combinatoria Metodo: Conteggio, Casework, Inclusione-esclusione Abilita: Conteggio sistematico, Casework accurato, Riconoscimento di pattern Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF

Conteggi di conteggio delle lettere in cui ciascuna lettera è adiacente a una lettera identica

Trovare il numero di diversi arrangiamenti in una riga delle lettere $A,A,A,A,B,B,B,B,C,C,C,C$ in modo tale che ogni lettera sia adiacente a una lettera identica.

Indicare se è possibile generare le lettere $n$ che appaiono ciascuna cinque volte.

src_bmo2_1989__Q02

Polynomial of degree n with f(k)=1/(k+1); find f(n+1)

Let $f(x)$ be a polynomial of degree $n$ such that $f(k)=\frac{1}{k+1},k=0,1,2,\dots ,n.$ Find $f(n+1)$, expressing your result as simply as possible.

Topic: Algebra Metodo: Fattorizzazione, Induzione Abilita: Manipolazione algebrica, Riconoscimento di pattern, Astrazione Area: Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

Polinomio di grado n con f(k)=1/(k+1); trovare f(n+1)

Che $f(x)$ sia un polinomio di grado $n$ tale che $f(k)=\frac{1}{k+1},k=0,1,2,\dots ,n.$ Trova $f(n+1)$, esprimendo il risultato il più semplicemente possibile.

src_bmo2_1989__Q03

Point M on AC of triangle ABC with inscribed circles; find IM in terms of sides

$M$ is a point on the side $AC$ of triangle $ABC$ such that triangles $ABM$, $BCM$ have inscribed circles. Find the length of $IM$ in terms of the lengths $a,b,c$ of the sides of triangle $ABC$.

Topic: Geometria piana Metodo: Trigonometria, Coordinate Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica, Lettura attenta Area: Geometria Fonte: apri PDF

Punto M su AC del triangolo ABC con cerchi incisi; trovare IM in termini di lati

$M$ è un punto sul lato $AC$ del triangolo $ABC$ in modo tale che i triangoli $ABM$, $BCM$ abbiano scritti cerchi. Trova la lunghezza di $IM$ in termini di lunghezza $a,b,c$ dei lati del triangolo $ABC$.

src_bmo2_1989__Q04