British Mathematical Olympiad 1990 — Round 2

Prove a polynomial with integer coefficients taking value 1990 at four distinct integers cannot take value 1997.

Prove that if the polynomial $p(x)=a_0{x}^n+a_1{x}^{n-1}+\dots +a_{n-1}x+a_n,$ whose coefficients are integers, takes the value $1990$ for four distinct integer values of $x$, then it cannot take the value $1997$ for any integer value of $x$.

Topic: Algebra, Teoria dei Numeri Metodo: Fattorizzazione, Congruenze Abilita: Manipolazione algebrica, Lettura attenta Area: Algebra e Analisi, Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

Prove un polinomio con coefficienti interi che assumono il valore 1990 a quattro numeri interi distinti non può assumere il valore 1997.

Prova che se il polinomio $p(x)=a_0{x}^n+a_1{x}^{n-1}+\dots +a_{n-1}x+a_n,$ i cui coefficienti sono interi, prende il valore $1990$ per quattro valori interi distinti di $x$, allora non può prendere il valore $1997$ per qualsiasi valore interi di $x$.

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With fractional part f(x)=x-[x], find a positive x with f(x)+f(1/x)=1; ask whether rational solutions exist.

The \textit{integer part} $[x]$ of a number $x$ is the greatest integer which is not greater than $x$. The \textit{fractional part} $f(x)$ is defined by $f(x)=x-[x]$. Find a positive number $x$ such that $f(x)+f\left(\frac{1}{x}\right)=1.$ Are there any \textit{rational} solutions?

Topic: Algebra, Teoria dei Numeri, Insiemi e funzioni Metodo: Casework Abilita: Manipolazione algebrica, Astrazione, Lettura attenta Area: Algebra e Analisi, Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

Con la parte frazionaria f(x) =x-[x], trovare una x positiva con f(x) + f(1/x) =1; chiedere se esistono soluzioni razionali.

La parte \textit{integer} $[x]$ di un numero $x$ è il numero intero più grande non superiore a $x$. La \textit{frazione} $f(x)$ è definita da $f(x)=x-[x]$. Trova un numero positivo $x$ tale che $f(x)+f\left(\frac{1}{x}\right)=1.$ Ci sono soluzioni \textit{razionali}?

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State the cosine rule and prove a sum-of-square-roots inequality for positive reals a, b, c.

State the cosine rule for a triangle. Prove that for arbitrary positive real numbers $a$, $b$, $c$, $\sqrt{a^2+b^2-ab}+\sqrt{b^2+c^2-bc}\ge \sqrt{a^2+c^2+ac}.$

Topic: Disuguaglianze, Geometria piana, Trigonometria Metodo: Trigonometria, Disuguaglianze, Simmetria Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica Area: Algebra e Analisi, Geometria Fonte: apri PDF

Inserire la regola cosinica e dimostrare una disuguaglianza della somma delle radici quadrate per i reali positivi a, b, c.

Indicare la regola cosina per un triangolo. Prove che per i numeri reali positivi arbitrari $a$, $b$, $c$, $\sqrt{a^2+b^2-ab}+\sqrt{b^2+c^2-bc}\ge \sqrt{a^2+c^2+ac}.$

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Maximize d^2/area(T) where d is the smallest diagonal among all rectangles inscribed in a triangle T.

Let $d$ denote the length of the smallest diagonal of all rectangles inscribed in a triangle $T$. (By inscribed we mean that all vertices of the rectangle lie on the boundary of $T$). Determine the maximum value of $d^2/\mathrm{area}(T)$ taken over all triangles.

Topic: Geometria piana Metodo: Estremalità, Casework Abilita: Ragionamento geometrico, Stima, Modellizzazione Area: Geometria Fonte: apri PDF

Maximizzare d^2/area(T) dove d è la più piccola diagonale tra tutti i rettangoli inseriti in un triangolo T.

$d$ indica la lunghezza della più piccola diagonale di tutti i rettangoli inseriti in un triangolo $T$. (Per inciso intendiamo che tutti i vertici del rettangolo si trovano sul confine di $T$). Determinare il valore massimo di $d^2/\mathrm{area}(T)$ preso su tutti i triangoli.

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With incentre I and an excentre J of triangle ABC, prove AI.AJ=AB.AC and AI.BJ.CJ=AJ.BI.CI.

$I$ is the centre of the circle inscribed to triangle $ABC$; $J$ is the centre of the escribed circle which touches $AB$ and $AC$ produced beyond $B$ and $C$ respectively. Prove that $AI\cdot AJ=AB\cdot AC$ and that $AI\cdot BJ\cdot CJ=AJ\cdot BI\cdot CI.$

Topic: Geometria piana Metodo: Trigonometria, Simmetria Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica Area: Geometria Fonte: apri PDF

Con il centro I e l’escentro J del triangolo ABC, dimostrare AI.AJ=AB.AC e AI.BJ.CJ=AJ.BI.CI.

$I$ è il centro del cerchio inscritto al triangolo $ABC$; $J$ è il centro del cerchio inscritto che tocca rispettivamente $AB$ e $AC$ prodotti oltre $B$ e $C$. Provare che $AI\cdot AJ=AB\cdot AC$ e che $AI\cdot BJ\cdot CJ=AJ\cdot BI\cdot CI.$

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