British Mathematical Olympiad 1991 — Round 2

Sine of angle between AC and median from C in right triangle

In triangle $ABC$, $B$ is a right-angle and $\alpha$ is the angle between $AC$ and the median from $C$ to $AB$. Find $\sin \alpha$.

Topic: Geometria piana, Trigonometria Metodo: Trigonometria, Coordinate Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica Area: Geometria Fonte: apri PDF

Sine di angolo tra AC e media da C in triangolo rettangolo

Nel triangolo $ABC$, $B$ è un angolo rettangolo e $\alpha$ è l’angolo tra $AC$ e la media da $C$ a $AB$. Trova $\sin \alpha$.

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Dwarves with cloaks: prove friendship changes eventually stabilise

Twelve dwarves live in a forest. Each has a two-sided cloak which is blue on one side and red on the other. Some dwarves consistently wear their cloaks red side out and the rest consistently wear their cloaks blue side out.

On the following New Year’s day, each dwarf (numbered modulo 12) will visit each of his friends. If he finds a majority of these friends wearing their cloaks differently from his, he will immediately change; otherwise things will continue as before.

Prove that, sooner or later, no further changes will take place.

(Friendships are mutual and do not change.)

Topic: Combinatoria Metodo: Invarianti, Casework Abilita: Ragionamento geometrico, Riconoscimento di pattern, Modellizzazione Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF

I nani con i mantelli: dimostrano che i cambiamenti di amicizia si stabilizzano alla fine

12 nani vivono in una foresta. Ognuno ha un mantello a due lati che è blu da un lato e rosso dall’altro. Alcuni nani indossano costantemente il loro mantello sul lato rosso e gli altri costantemente indossano il loro mantello sul lato blu.

Il giorno successivo di Capodanno, ogni nano (numerato modulo 12) visiterà ciascuno dei suoi amici. Se trova una maggioranza di questi amici che indossano i loro abiti diversi dai suoi, cambierà immediatamente; altrimenti le cose continueranno come prima.

Prove che prima o poi non ci saranno ulteriori cambiamenti.

(Le amicizie sono reciproche e non cambiano.)

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Triangle with perimeter 2: prove $a^2+b^2+c^2+2abc<2$

Prove that if the perimeter of a triangle with sides $a$, $b$, $c$ is $2$ then $a^2+b^2+c^2+2abc<2.$

Topic: Disuguaglianze, Geometria piana Metodo: Disuguaglianze, Fattorizzazione Abilita: Manipolazione algebrica, Modellizzazione, Stima Area: Algebra e Analisi, Geometria Fonte: apri PDF

Triangolo con perimetro 2: prova $a^2+b^2+c^2+2abc<2$

Prova che se il perimetro di un triangolo con lati $a$, $b$, $c$ è $2$, allora $a^2+b^2+c^2+2abc<2.$

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Among $x,2x,\dots ,20x$ some multiple contains digit 2; find min $N$

Let $x$ be a positive real number. Prove that at least one of the numbers $x,2x,3x,\dots ,20x$ contains the digit $2$ in its decimal expansion.

Let $N$ be the smallest positive integer such that, for every positive real number $x$, at least one of the numbers $x,2x,3x,\dots ,Nx$ contains the digit $2$ in its decimal expansion. Find lower and upper bounds for $N$ and, if possible, find $N$ exactly.

Topic: Teoria dei Numeri, Combinatoria Metodo: Casework, Estremalità, Induzione Abilita: Conteggio sistematico, Stima, Lettura attenta, Ragionamento geometrico Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF

Tra $x,2x,\dots ,20x$ alcuni multipli contengono la cifra 2; trovare min $N$

$x$ sia un numero reale positivo. Prova che almeno uno dei numeri $x,2x,3x,\dots ,20x$ contiene la cifra $2$ nella sua espansione decimale.

$N$ sia il numero intero positivo più piccolo in modo tale che, per ogni numero reale positivo $x$, almeno uno dei numeri $x,2x,3x,\dots ,Nx$ contenga la cifra $2$ nella sua espansione decimale. Trova i limiti inferiori e superiori per $N$ e, se possibile, trova esattamente $N$.

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