British Mathematical Olympiad 1992 — Round 2

For an odd prime p, prove there are unique positive integers x,y with x^2=y(y+p) and find them.

Let $p$ be an odd prime number. Prove that there are unique positive integers $x,y$ such that $x^2=y(y+p)$, and give the formulae for $x$ and $y$ in terms of $p$.

Topic: Teoria dei Numeri, Algebra Metodo: Fattorizzazione Abilita: Manipolazione algebrica, Riconoscimento di pattern Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

Per un primo impar p, dimostrare che ci sono unici interi positivi x,y con x^2=y(y+p) e trovarli.

$p$ sia un numero primo impar. Prove che esistono unici integri positivi $x,y$ come $x^2=y(y+p)$, e fornisca le formule per $x$ e $y$ in termini di $p$.

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Inequality bounding a sum of reciprocals of three-term sums between two expressions.

Let $a,b,c,d$ be positive real numbers. Prove that $\frac{12}{a+b+c+d}\le \frac{1}{a+b}+\frac{1}{a+c}+\frac{1}{a+d}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{b+d}+\frac{1}{c+d}\le \frac{3}{4}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+\frac{1}{d}\right).$

Topic: Disuguaglianze, Algebra Metodo: Disuguaglianze Abilita: Manipolazione algebrica, Stima Area: Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

Ineguaglianza che limita una somma di reciprocità di somme a tre termini tra due espressioni.

Lasciate che $a,b,c,d$ siano numeri reali positivi. Provare che $\frac{12}{a+b+c+d}\le \frac{1}{a+b}+\frac{1}{a+c}+\frac{1}{a+d}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{b+d}+\frac{1}{c+d}\le \frac{3}{4}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+\frac{1}{d}\right).$

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Triangle whose circumradius satisfies AB^2+AC^2=BC^2-R^2; prove the angles are uniquely determined and find them.

The circumcircle of the triangle $ABC$ has a radius $R$ satisfying $A{B}^2+A{C}^2=B{C}^2-R^2.$ Prove that the angles of the triangle are uniquely determined, and state the values for the angles.

Topic: Geometria piana, Trigonometria Metodo: Trigonometria Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica Area: Geometria Fonte: apri PDF

Un triangolo il cui radio di circonferenza soddisfa AB^2+AC^2=BC^2-R^2; dimostrare che gli angoli sono determinati in modo unico e trovarli.

Il circoncircolo del triangolo $ABC$ ha un raggio $R$ soddisfacente $A{B}^2+A{C}^2=B{C}^2-R^2.$ Prove che gli angoli del triangolo sono determinati in modo unico, e indicare i valori per gli angoli.

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Dwarf community with three friendship types (one of each per dwarf), connected; prove the count is even >2 and that to isolate a group the destroyed counts of the three types are all even or all odd.

Dwarfish social life in the Land Under the Mountain is based on ‘visiting’ which has its own dwarfish rules. Two dwarves may visit each other only if they are acquainted, but there are three levels of friendship.

Doorstep friends may visit each other and talk for as long as they like, but must remain on the doorstep, never crossing the threshold.

Tea friends may cross each others’ threshold, and even share a cup of tea, but must never stay for supper.

Supper friends may visit each other and stay as long as they like, sharing ale, supper and a fireside chat.

Each dwarf has exactly one friend of each kind, and the community is structured so that every pair $A,B$ of dwarves is linked by a chain of acquaintances of various kinds so that $A$ knows someone, who knows someone, who knows someone, $\dots$, who knows $B$.

(i) Prove that the number of dwarves must be an even number exceeding $2$, and that, corresponding to each even $n>2$, there may be such a community of $n$ dwarves.

(ii) The evil orcs want to isolate one group of dwarves from the rest of the community. To do this they must destroy some set of friendships. Suppose that they were to succeed in this by destroying $F_d\text{ doorstep friendships},F_t\text{ tea friendships},F_s\text{ supper friendships},$ and that all of these friendships must be destroyed to isolate that group. Prove that $F_d,F_t,F_s$ would have to be either all even or all odd.

Topic: Combinatoria, Logica Metodo: Grafi, Invarianti, Doppio conteggio Abilita: Modellizzazione, Astrazione, Lettura attenta Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF

Comunità nanna con tre tipi di amicizia (uno di ciascuno per nano), connessa; dimostrare che il conteggio è pari >2 e che per isolare un gruppo i conteggi distrutti dei tre tipi sono tutti pari o tutti odd.

La vita sociale dei nani nel Land Under the Mountain si basa sulla “visita” che ha le sue regole dei nani. Due nani possono visitarsi solo se si conoscono, ma ci sono tre livelli di amicizia.

Gli amici possono visitarsi e parlare per quanto desiderano, ma devono rimanere sulla soglia, non attraversando mai la soglia.

Gli amici possono superare la soglia reciproca, e anche condividere una tazza di tè, ma non devono mai rimanere per cena.

Gli amici possono visitare l’altro e rimanere quanto vogliono, condividendo birra, cena e una chiacchierata vicino al fuoco.

Ogni nano ha esattamente un amico di ogni tipo, e la comunità è strutturata in modo che ogni coppia di nani sia legata da una catena di conoscenze di vari tipi in modo che $A$ conosca qualcuno, che conosce qualcuno, che conosce qualcuno, $\dots$, che conosce $B$.

(i) dimostrare che il numero di nani deve essere pari superiore a $2$ e che, corrispondendo a ciascuna pari $n>2$, può esistere una tale comunità di nani $n$.

(ii) Gli orchi malvagi vogliono isolare un gruppo di nani dal resto della comunità. Per fare questo devono distruggere un certo insieme di amicizie. Supponiamo che abbiano successo distruggendo $F_d\text{ doorstep friendships},F_t\text{ tea friendships},F_s\text{ supper friendships},$ e che tutte queste amicizie debbano essere distrutte per isolare quel gruppo. Prove che $F_d,F_t,F_s$ dovrebbe essere tutto pari o tutto impar.

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