British Mathematical Olympiad 1993 — Round 2

Smallest angle sum for inscribed triangle with distinct unit angles

We usually measure angles in degrees, but we can use any other unit we choose. For example, if we say $30^{\circ }$ is a new unit, then the angles of a $30^{\circ }$, $60^{\circ }$, $90^{\circ }$ triangle would be equal to $1$, $2$, $3$ new units respectively. The diagram shows a triangle $ABC$ with a second triangle $DEF$ inscribed in it. All angles in the diagram are multiples of some new (unknown) unit; their sizes $a,b,c,d,e,f,g,h,k$ with respect to this new angle unit are all distinct.

Find the smallest possible value of $a+b+c$ for which such an angle unit can be chosen, and mark the corresponding values of the angles $a,\dots ,k$ in the diagram.

Topic: Teoria dei Numeri, Geometria piana Metodo: Casework, Estremalità Abilita: Ragionamento geometrico, Conteggio sistematico, Lettura attenta Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Geometria Fonte: apri PDF

La somma dell’angolo più piccolo per un triangolo inciso con angoli unitari distinti

Di solito misuriamo gli angoli in gradi, ma possiamo usare qualsiasi altra unità che scegliamo. Ad esempio, se diciamo $30^{\circ }$ è una nuova unità, allora gli angoli di un triangolo $30^{\circ }$, $60^{\circ }$, $90^{\circ }$ sarebbero uguali a $1$, $2$, $3$ nuove unità rispettivamente. Il diagramma mostra un triangolo $ABC$ con un secondo triangolo $DEF$ inserito in esso. Tutti gli angoli del diagramma sono multipli di qualche nuova (non nota) unità; le loro dimensioni $a,b,c,d,e,f,g,h,k$ rispetto a questa nuova unità angolare sono tutte distinte.

Trova il minimo valore possibile di $a+b+c$ per il quale si può scegliere un’unità di angolo e segna i valori corrispondenti degli angoli $a,\dots ,k$ nel diagramma.

src_bmo2_1993__Q01

Prove $2^{m-1}\equiv 1(\mathrm{mod}m)$ for Mersenne-type $m$

Let $m=2^p-1$, where $p$ is a prime number exceeding $3$. Prove that $2^{m-1}$ has remainder $1$ when divided by $m$.

Topic: Teoria dei Numeri Metodo: Congruenze Abilita: Manipolazione algebrica, Lettura attenta Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

Prova $2^{m-1}\equiv 1(\mathrm{mod}m)$ per il tipo Mersenne $m$

Let $m=2^p-1$, dove $p$ è un numero primo superiore a $3$. Prove che $2^{m-1}$ ha un residuo $1$ diviso per $m$.

src_bmo2_1993__Q02

Prove $PA\sin \alpha =PB\sin \beta =PC\sin \gamma$ for interior point

Let $P$ be an internal point of triangle $ABC$ and let $\alpha$, $\beta$, $\gamma$ be defined by $\alpha =\angle BPC-\angle BAC,\beta =\angle CPA-\angle CBA,\gamma =\angle APB-\angle ACB.$ Prove that $PA\cdot \sin \alpha =PB\cdot \sin \beta =PC\cdot \sin \gamma .$

Topic: Geometria piana, Trigonometria Metodo: Trigonometria, Simmetria Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica Area: Geometria Fonte: apri PDF

Prova $PA\sin \alpha =PB\sin \beta =PC\sin \gamma$ per il punto interno

Che $P$ sia un punto interno del triangolo $ABC$ e che $\alpha$, $\beta$, $\gamma$ siano definiti da $\alpha =\angle BPC-\angle BAC,\beta =\angle CPA-\angle CBA,\gamma =\angle APB-\angle ACB.$ Provi che $PA\cdot \sin \alpha =PB\cdot \sin \beta =PC\cdot \sin \gamma .$

src_bmo2_1993__Q03

Average of digit-difference sums over all $m$-digit numbers with fixed digit counts

Let $Z(m,n)$ denote the set of all $m$-digit positive integers (in base $10$) which have precisely $a$ ones, $b$ twos, $c$ threes, $\dots$, $n$ nines (so that $a+b+\cdots +n\le m$, with the remaining digits being zeros). For each $N\in Z(m,n)$, define $d(N)$ to be the sum of the absolute values of all pairwise differences of the consecutive digits of $N$. Find the average value of $d(N)$ as $N$ ranges over all possible elements of $Z(m,n)$.

Topic: Combinatoria, Teoria dei Numeri Metodo: Doppio conteggio, Conteggio, Simmetria Abilita: Conteggio sistematico, Manipolazione algebrica, Modellizzazione Area: Combinatoria, Logica e Probabilita, Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

*Medio delle somme di differenze digitali su tutti i numeri $m$ a cifre fisse *

Indichiamo $Z(m,n)$ l’insieme di tutti gli integri positivi a $m$-cifre (in base $10$) che hanno precisamente $a$, $b$ due, $c$ tre, $\dots$, $n$ nove (in modo che $a+b+\cdots +n\le m$, con le cifre rimanenti siano zeri). Per ogni $N\in Z(m,n)$, definire $d(N)$ come la somma dei valori assoluti di tutte le differenze in coppia dei numeri consecutivi di $N$. Trova il valore medio di $d(N)$ in quanto $N$ si estende su tutti i possibili elementi di $Z(m,n)$.

src_bmo2_1993__Q04