British Mathematical Olympiad 1994 — Round 2

Find first n>1 where average of squares is a perfect square

Find the first integer $n>1$ such that the average of $1^2,2^2,3^2,\dots ,n^2$ is itself a perfect square.

Topic: Teoria dei Numeri, Algebra Metodo: Congruenze, Fattorizzazione Abilita: Manipolazione algebrica, Riconoscimento di pattern, Lettura attenta Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

Trova prima n>1 dove la media dei quadrati è un quadrato perfetto

Trova il primo intero $n>1$ in modo tale che la media di $1^2,2^2,3^2,\dots ,n^2$ sia un quadrato perfetto.

src_bmo2_1994__Q01

Count non-congruent integer-sided triangles with given perimeter

How many different (i.e. pairwise non-congruent) triangles are there with integer sides and with integer perimeter $p$? (Express your answer in terms of $p$, considering cases according to the residue of $p$ modulo 12.)

Topic: Combinatoria, Teoria dei Numeri Metodo: Casework, Conteggio Abilita: Conteggio sistematico, Casework accurato, Lettura attenta Area: Combinatoria, Logica e Probabilita, Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

Contare i triangoli a lato intero non congruenti con un determinato perimetro

Quanti diversi (cioè: se ci sono triangoli non congruenti in coppia con lati interi e perimetro interi $p$? (Esprimi la tua risposta in termini di $p$, considerando i casi in base al residuo di $p$ modulo 12.)

src_bmo2_1994__Q02

Chords AP AQ AR AS with equal angles; prove product identity

$AP$, $AQ$, $AR$, $AS$ are chords of a given circle with the property that $\angle PAQ=\angle QAR=\angle RAS$.

Prove that $AR(AP+AR)=AQ(AQ+AS).$

Topic: Geometria piana Metodo: Trigonometria, Simmetria Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica, Lettura attenta Area: Geometria Fonte: apri PDF

Archivi AP AQ AR AS con angoli uguali; dimostrare l’identità del prodotto

$AP$, $AQ$, $AR$, $AS$ sono accordi di un circolo dato con la proprietà che $\angle PAQ=\angle QAR=\angle RAS$.

Provare che $AR(AP+AR)=AQ(AQ+AS).$

src_bmo2_1994__Q03

Count perfect squares mod 2^n

How many perfect squares are there (mod $2^n$)?

Topic: Teoria dei Numeri, Algebra Metodo: Congruenze, Induzione, Casework Abilita: Manipolazione algebrica, Riconoscimento di pattern, Conteggio sistematico Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

Contare i quadrati perfetti mod 2^n

Quanti quadrati perfetti ci sono (mod $2^n$)?

src_bmo2_1994__Q04