British Mathematical Olympiad 1995 — Round 2

Find all positive integer triples satisfying a product equal to 2

Find all triples of positive integers $(a,b,c)$ such that $\left(1+\frac{1}{a}\right)\left(1+\frac{1}{b}\right)\left(1+\frac{1}{c}\right)=2.$

Topic: Teoria dei Numeri, Algebra Metodo: Casework, Fattorizzazione Abilita: Manipolazione algebrica, Casework accurato, Lettura attenta Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

Ricerca tutti i tripli numeri interi positivi che soddisfano un prodotto uguale a 2

Trovare tutti i triples di numeri interi positivi $(a,b,c)$ in modo tale che $\left(1+\frac{1}{a}\right)\left(1+\frac{1}{b}\right)\left(1+\frac{1}{c}\right)=2.$

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Prove angle equivalence in triangle using midpoints

Let $ABC$ be a triangle, and $D$, $E$, $F$ be the midpoints of $BC$, $CA$, $AB$ respectively. Prove that $\angle DAC=\angle ABE$ if and only if $\angle AFC=\angle ADB$.

Topic: Geometria piana Metodo: Trigonometria, Simmetria Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica, Lettura attenta Area: Geometria Fonte: apri PDF

Prove l’equivalenza angolare nel triangolo utilizzando i punti medi

$ABC$ sia un triangolo, e $D$, $E$, $F$ siano i punti medi di $BC$, $CA$, $AB$ rispettivamente. Prova che $\angle DAC=\angle ABE$ se e solo se $\angle AFC=\angle ADB$.

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Prove bounds on roots given sum and sum-of-products conditions

Let $a$, $b$, $c$ be real numbers satisfying $a<b<c$, $a+b+c=6$, and $ab+bc+ca=9$. Prove that $0<a<1<b<3<c<4$.

Topic: Algebra, Disuguaglianze Metodo: Disuguaglianze, Casework Abilita: Manipolazione algebrica, Stima, Lettura attenta Area: Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

Raggiungere i limiti sulle radici date condizioni di somma e somma di prodotti

$a$, $b$, $c$ siano numeri reali che soddisfino $a<b<c$, $a+b+c=6$ e $ab+bc+ca=9$. Prove che $0<a<1<b<3<c<4$.

src_bmo2_1995__Q03

Count team pairings and prove factorial divisibility

(a) Determine, with clear explanation, how many ways $2n$ people can be paired off to form $n$ teams of $2$.

(b) Prove that $(n!{)}^{n+1}$ is divisible by $(n+1){!}^n$ for all positive integers $n$.

Topic: Combinatoria, Teoria dei Numeri Metodo: Conteggio, Induzione, Fattorizzazione Abilita: Conteggio sistematico, Manipolazione algebrica, Lettura attenta Area: Combinatoria, Logica e Probabilita, Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

*Conta le coppie di squadra e prova la divisibilità fattoriale *

(a) Determinare, con chiarezza, in quanti modi le persone $2n$ possono essere accoppiate per formare squadre $n$ di $2$.

b) dimostrare che $(n!{)}^{n+1}$ è divisibile per $(n+1){!}^n$ per tutti gli integri positivi $n$.

src_bmo2_1995__Q04