British Mathematical Olympiad 1996 — Round 2

Find non-negative integer solutions to exponential Diophantine equation

Determine all sets of non-negative integers $x$, $y$, $z$ which satisfy the equation $2^x+3^y=z^2.$

Topic: Teoria dei Numeri Metodo: Casework, Congruenze Abilita: Casework accurato, Manipolazione algebrica, Lettura attenta Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

Ricerca soluzioni di numeri interi non negativi all’equazione diofantina esponenziale

Determinare tutti gli insiemi di integri non negativi $x$, $y$, $z$ che soddisfano l’equazione $2^x+3^y=z^2.$

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Two triangles with related sides; prove right-angle and find angles

The sides $a$, $b$, $c$ and $u$, $v$, $w$ of two triangles $ABC$ and $UVW$ are related by the equations $v(u+v-w)=a^2,u(u+v-w)=b^2,w(u+v-w)=c^2.$ Prove that triangle $ABC$ is right-angled and express the angles $U$, $V$, $W$ in terms of $A$, $B$, $C$.

Topic: Geometria piana, Trigonometria Metodo: Trigonometria Abilita: Manipolazione algebrica, Ragionamento geometrico, Lettura attenta Area: Geometria Fonte: apri PDF

Due triangoli con lati correlati; dimostrare angolo rettangolo e trovare angoli

I lati $a$, $b$, $c$ e $u$, $v$, $w$ di due triangoli $ABC$ e $UVW$ sono correlati dalle equazioni $v(u+v-w)=a^2,u(u+v-w)=b^2,w(u+v-w)=c^2.$ Prove che il triangolo $ABC$ sia rettangolare ed esprime gli angoli $U$, $V$, $W$ in termini di $A$, $B$, $C$.

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Three mutually tangent circles; prove a line is a common tangent

Two circles $S_1$ and $S_2$ touch each other externally at $K$; they also touch a circle $S$ internally at $A_1$ and $A_2$ respectively. Let $P$ be one point of intersection of $S$ with the common tangent to $S_1$ and $S_2$ at $K$. The line $P{A}_1$ meets $S_1$ again at $B_1$, and $P{A}_2$ meets $S_2$ again at $B_2$. Prove that $B_1{B}_2$ is a common tangent to $S_1$ and $S_2$.

Topic: Geometria piana Metodo: Simmetria Abilita: Ragionamento geometrico, Lettura attenta, Astrazione Area: Geometria Fonte: apri PDF

Tre cerchi reciprocamente tangenti; dimostrare che una linea è una tangente comune

Due cerchi $S_1$ e $S_2$ si toccano all’esterno a $K$; toccano anche un cerchio $S$ all’interno rispettivamente a $A_1$ e $A_2$. Il punto di intersezione di $S$ deve essere $P$ con la tangente comune di $S_1$ e $S_2$ a $K$. La riga $P{A}_1$ incontra di nuovo $S_1$ a $B_1$ e $P{A}_2$ incontra di nuovo $S_2$ a $B_2$. Prova che $B_1{B}_2$ è una tangente comune di $S_1$ e $S_2$.

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Find positive reals satisfying two symmetric equations in four variables

Let $a$, $b$, $c$, $d$ be positive real numbers such that $a+b+c+d=12$ and $abcd=27+ab+ac+ad+bc+bd+cd.$ Find all possible values of $a$, $b$, $c$, $d$ satisfying these equations.

Topic: Algebra, Disuguaglianze Metodo: Disuguaglianze, Simmetria, Estremalità Abilita: Manipolazione algebrica, Riconoscimento di pattern, Stima Area: Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

Ricerca i reali positivi che soddisfano due equazioni simmetriche in quattro variabili

Che $a$, $b$, $c$, $d$ siano numeri reali positivi in modo tale che $a+b+c+d=12$ e $abcd=27+ab+ac+ad+bc+bd+cd.$ Trovino tutti i possibili valori di $a$, $b$, $c$, $d$ che soddisfano queste equazioni.

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