9-digit integers M and N: digit replacements always divisible by 7
Let and be two 9-digit positive integers with the property that if any one digit of is replaced by the digit of in the corresponding place (e.g., the ‘tens’ digit of replaced by the ‘tens’ digit of ) then the resulting integer is a multiple of .
Prove that any number obtained by replacing a digit of by the corresponding digit of is also a multiple of .
Find an integer such that the above result concerning divisibility by remains true when and are two -digit positive integers.
Topic: Teoria dei Numeri Metodo: Congruenze Abilita: Manipolazione algebrica, Lettura attenta Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF
intere di 9 cifre M e N: sostituzioni di cifre sempre divisibili per 7
Che e siano due integri positivi a 9 cifre con la proprietà che se una cifra di viene sostituita dalla cifra di al posto corrispondente (ad esempio, la cifra “dieci” di è sostituita dalla cifra “dieci” di ), il numero intero risultante è un multiple di .
Prova che qualsiasi numero ottenuto sostituendo una cifra di con la cifra corrispondente di è anche un multiple di .
Trova un intero tale che il risultato sopra riportato in merito alla divisibilità per rimanga vero quando e sono due interi positivi a 4 cifre .
Triangle with median equal altitude and equal angles implies equilateral
In the acute-angled triangle , is an altitude, with on , and is a median, with on . Given that and , prove that the triangle is equilateral.
Topic: Geometria piana Metodo: Trigonometria, Simmetria Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica Area: Geometria Fonte: apri PDF
Triangolo con media uguale altitudine e angoli uguali implica equilaterale
Nel triangolo a angolo acuto , è un’altitudine, con su , e è una media, con su . Dato che e dimostrano che il triangolo è equilaterale.
Count degree-5 polynomials with distinct coefficients divisible by x²−x+1
Find the number of polynomials of degree with distinct coefficients from the set that are divisible by .
Topic: Algebra, Combinatoria Metodo: Congruenze, Conteggio Abilita: Manipolazione algebrica, Conteggio sistematico Area: Algebra e Analisi, Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF
Contare polinomi di grado-5 con coefficienti distinti divisibili da x2−x+1
Trova il numero di polinomi di grado con coefficienti distinti dall’insieme divisibili da .
Maximal arithmetic progressions in reciprocals of positive integers
The set of reciprocals of the positive integers contains arithmetic progressions of various lengths. For instance, is such a progression, of length (and common difference ). Moreover, this is a maximal progression in of length since it cannot be extended to the left or right within ( and not being members of ).
(i) Find a maximal progression in of length .
(ii) Is there a maximal progression in of length ?
Topic: Teoria dei Numeri, Combinatoria Metodo: Congruenze, Estremalità Abilita: Riconoscimento di pattern, Manipolazione algebrica, Modellizzazione Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF
Progressioni aritmetiche massime in reciprocità di numeri interi positivi
L’insieme di reciprocità dei numeri interi positivi contiene progressioni aritmetiche di varie lunghezze. Ad esempio, è una tale progressione, di lunghezza (e differenza comune ). Inoltre, si tratta di una progressione massima in di lunghezza poiché non può essere estesa a sinistra o a destra all’interno di ( e non essendo membri di ).
(i) Trovare una progressione massima in di lunghezza .
(ii) C’è una progressione massima in di lunghezza ?