British Mathematical Olympiad 1998 — Round 2

Railway tickets to 200 destinations, pigeonhole for repeated arrivals

A booking office at a railway station sells tickets to 200 destinations. One day, tickets were issued to 3800 passengers. Show that

(i) there are (at least) 6 destinations at which the passenger arrival numbers are the same;

(ii) the statement in (i) becomes false if ‘6’ is replaced by ‘7’.

Topic: Combinatoria, Teoria dei Numeri Metodo: Principio dei cassetti Abilita: Conteggio sistematico, Lettura attenta Area: Combinatoria, Logica e Probabilita, Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

Billeti ferroviari per 200 destinazioni, buco di piccione per arrivi ripetuti

Un ufficio di prenotazione di una stazione ferroviaria vende biglietti per 200 destinazioni. Un giorno furono rilasciati biglietti a 3.800 passeggeri. Mostralo.

• ci sono almeno sei destinazioni in cui i numeri di arrivo dei passeggeri sono uguali;

• la dichiarazione di cui alla lettera i) diventa falsa se “6” viene sostituito da “7”.

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Triangle circumcircles tangency with angle and parallel conditions

A triangle $ABC$ has $\angle BAC=\angle BCA$. A line $AP$ is drawn so that $\angle PAC=\angle BCA$ where $P$ is inside the triangle is constructed so that $PQ$ is parallel to $AB$, and $AQ$ is parallel to $PC$. $R$ is the point on $BC$ (separated from $Q$ by the line $AP$) such that $\angle PRQ=\angle BCA$.

Prove that the circumcircle of $△ABC$ also touches the circumcircle of $△PQR$.

Topic: Geometria piana Metodo: Trigonometria, Simmetria Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica, Lettura attenta Area: Geometria Fonte: apri PDF

Un triangolo circonda la tangenza con condizioni di angolo e parallelo

Un triangolo $ABC$ ha $\angle BAC=\angle BCA$. Una linea $AP$ è disegnata in modo che $\angle PAC=\angle BCA$ dove $P$ è all’interno del triangolo sia costruita in modo che $PQ$ sia parallela a $AB$ e $AQ$ sia parallela a $PC$. $R$ è il punto su $BC$ (separato da $Q$ dalla riga $AP$) tale che $\angle PRQ=\angle BCA$.

Prova che il circoncircolo di $△ABC$ tocca anche il circoncircolo di $△PQR$.

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Positive integers with harmonic relation, GCD yields perfect squares

Suppose $x,y,z$ are positive integers satisfying $\frac{1}{x}=\frac{1}{y}+\frac{1}{z}$ and let $k$ be the greatest common divisor of $x,y,z$.

Prove that $kxy$ is a perfect square.

Prove also that $k(y-x)$ is a perfect square.

Topic: Teoria dei Numeri, Algebra Metodo: Fattorizzazione, Congruenze Abilita: Manipolazione algebrica, Riconoscimento di pattern, Lettura attenta Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

Interi positivi con relazione armonica, GCD produce quadrati perfetti

Supponiamo che $x,y,z$ siano integri positivi che soddisfano $\frac{1}{x}=\frac{1}{y}+\frac{1}{z}$ e che $k$ sia il più grande divisore comune di $x,y,z$.

Prova che $kxy$ è un quadrato perfetto.

Prova anche che $k(y-x)$ è un quadrato perfetto.

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Simultaneous equations, unique positive solution, real distinct solution exists

Find a solution of the simultaneous equations $xy+yz+zx=12$ $xyz=2+x+y+z$ in which all of $x,y,z$ are positive, and prove that it is the only such solution.

Show that a solution exists in which $x,y,z$ are real and distinct.

Topic: Algebra Metodo: Simmetria, Estremalità Abilita: Manipolazione algebrica, Lettura attenta, Casework accurato Area: Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

Equazioni simultanee, soluzione positiva unica, soluzione vera e propria diversa esiste

Trova una soluzione delle equazioni simultanee $xy+yz+zx=12$ $xyz=2+x+y+z$ in cui tutte le $x,y,z$ sono positive e prova che è l’unica tale soluzione.

Mostrare che esiste una soluzione in cui $x,y,z$ sono reali e distinte.

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