British Mathematical Olympiad 1999 — Round 2

Subsets of first n naturals with equal-sum halves

For each positive integer $n$, let $S_n$ denote the set consisting of the first $n$ natural numbers, that is $S_n=\{1,2,3,\dots ,n-1,n\}$.

(i) For which values of $n$ is it possible to express $S_n$ as the union of two non-empty disjoint subsets so that the elements in the two subsets have equal sums?

(ii) For which values of $n$ is it possible to express $S_n$ as the union of three non-empty disjoint subsets so that the elements in the three subsets have equal sums?

Topic: Teoria dei Numeri, Combinatoria Metodo: Casework, Congruenze Abilita: Manipolazione algebrica, Conteggio sistematico, Riconoscimento di pattern Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF

Sottoinsiemi di prime n naturali con metà di somma uguale

Per ogni intero positivo $n$, $S_n$ indica l’insieme composto dai primi numeri naturali $n$, cioè $S_n=\{1,2,3,\dots ,n-1,n\}$.

(i) Per quali valori di $n$ è possibile esprimere $S_n$ come l’unione di due sottoinsiemi non vuoti dissociati in modo che gli elementi dei due sottoinsiemi abbiano somme uguali?

(ii) Per quali valori di $n$ è possibile esprimere $S_n$ come l’unione di tre sottoinsiemi non vuoti dissociati in modo che gli elementi dei tre sottoinsiemi abbiano somme uguali?

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Hexagon circumscribed about circle; concurrent lines through opposite vertices

Let $ABCDEF$ be a hexagon (which may not be regular), which circumscribes a circle $S$. (That is, $S$ is tangent to each of the six sides of the hexagon.) The circle $S$ touches $AB$, $CD$, $EF$ at their midpoints $P$, $Q$, $R$ respectively. Let $X$, $Y$, $Z$ be the points of contact of $S$ with $BC$, $DE$, $FA$ respectively. Prove that $PY$, $QZ$, $RX$ are concurrent.

Topic: Geometria piana Metodo: Trigonometria, Coordinate Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica, Modellizzazione Area: Geometria Fonte: apri PDF

Essagono circostato intorno al cerchio; linee simultanee attraverso vertici opposti

Il $ABCDEF$ deve essere un esagono (che potrebbe non essere regolare), che circonscrive un cerchio $S$. Il cerchio $S$ tocca rispettivamente $AB$, $CD$, $EF$ ai loro punti di mezzo $P$, $Q$, $R$. Che $X$, $Y$, $Z$ siano rispettivamente i punti di contatto di $S$ con $BC$, $DE$ e $FA$. Prove che $PY$, $QZ$, $RX$ sono simultanei.

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Non-negative p,q,r satisfying p+q+r=1 imply inequality

Non-negative reals $p$, $q$ and $r$ satisfy $p+q+r=1$. Prove that $7(pq+qr+rp)\le 2+9pqr.$

Topic: Disuguaglianze Metodo: Disuguaglianze, Simmetria Abilita: Manipolazione algebrica, Ragionamento geometrico, Stima Area: Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

P,q,r non negativi che soddisfano p+q+r=1 implicano disuguaglianza

I valori reali non negativi $p$, $q$ e $r$ soddisfano $p+q+r=1$. Provare che $7(pq+qr+rp)\le 2+9pqr.$

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Numbers of form 3^n+1; digit-sum divisibility by 10

Consider all numbers of the form $3^n+n+1$, where $n$ is a positive integer.

(i) How small can the sum of the digits (in base 10) of such a number be?

(ii) Can such a number have the sum of its digits (in base 10) equal to 1999?

Topic: Teoria dei Numeri Metodo: Congruenze, Induzione Abilita: Riconoscimento di pattern, Manipolazione algebrica, Lettura attenta Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

Numeri del modulo 3^n+1; divisibilità della somma digitali per 10

Considerate tutti i numeri del modulo $3^n+n+1$, dove $n$ è un intero positivo.

(i) Quanto può essere piccola la somma delle cifre (in base 10) di un tale numero?

(ii) Un tale numero può avere la somma delle sue cifre (in base 10) pari al 1999?

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