British Mathematical Olympiad 2000 — Round 2

Common tangent and equal areas of triangles from two intersecting circles

Two intersecting circles $C_1$ and $C_2$ have a common tangent which touches $C_1$ at $P$ and $C_2$ at $Q$. The two circles intersect at $M$ and $N$, where $N$ is nearer to $PQ$ than $M$. Prove that the triangles $MNP$ and $MNQ$ have equal areas.

Topic: Geometria piana Metodo: Simmetria Abilita: Ragionamento geometrico, Lettura attenta Area: Geometria Fonte: apri PDF

Aree tangenti comuni e uguali di triangoli da due cerchi intersezionati

Due cerchi incrociati $C_1$ e $C_2$ hanno una tangente comune che tocca $C_1$ a $P$ e $C_2$ a $Q$. I due cerchi si incrociano a $M$ e $N$, dove $N$ è più vicino a $PQ$ rispetto a $M$. Provare che i triangoli $MNP$ e $MNQ$ hanno aree uguali.

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Minimum value of expression given positive reals with xy=32

Given that $x,y$ are positive real numbers satisfying $xy=32$, find the minimum value of $x^2+4xy+4y^2$.

Topic: Algebra, Disuguaglianze Metodo: Disuguaglianze, Estremalità Abilita: Manipolazione algebrica, Stima Area: Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

Valuta minima dell’espressione data a valori reali positivi con xy=32

Dato che $x,y$ sono numeri reali positivi che soddisfano $xy=32$, trovare il valore minimo di $x^2+4xy+4y^2$.

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Find positive integers n and k satisfying a radical equation

Find positive integers $n$ and $k$ such that ${\left(\sqrt{6}+\sqrt{5}-1\right)}^{49}+{\left(\sqrt{6}+\sqrt{5}+1\right)}^{49}=49+2\sqrt{6k}$.

Topic: Algebra, Teoria dei Numeri Metodo: Fattorizzazione, Induzione Abilita: Manipolazione algebrica, Riconoscimento di pattern Area: Algebra e Analisi, Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

Ricerca i numeri interi positivi n e k che soddisfano un’equazione radicale

Trova i numeri interi positivi $n$ e $k$ tali da ${\left(\sqrt{6}+\sqrt{5}-1\right)}^{49}+{\left(\sqrt{6}+\sqrt{5}+1\right)}^{49}=49+2\sqrt{6k}$.

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Set of ten distinct elements with sum divisible by 6; replace ten with seven

(a) Find a set $A$ of ten distinct elements such that six distinct elements of $A$ have a sum which is divisible by 6. (b) Is it possible to find such a set when ‘ten’ is replaced by ‘seven’?

Topic: Combinatoria, Teoria dei Numeri Metodo: Casework, Principio dei cassetti, Congruenze Abilita: Conteggio sistematico, Ragionamento geometrico, Lettura attenta, Modellizzazione Area: Combinatoria, Logica e Probabilita, Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

insieme di dieci elementi distinti la cui somma è divisibile per 6; sostituire dieci con sette

(a) Trovare un insieme $A$ di dieci elementi distinti in modo tale che sei elementi distinti di $A$ abbiano una somma divisibile per 6. (b) È possibile trovare un tale insieme quando “dieci” viene sostituito da “sette”?

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