British Mathematical Olympiad 2001 — Round 2

Marbles transferred between two players; find q/p in terms of n

Ahmed and Beth have $p$ and $q$ marbles, with $p>q$. Starting with Ahmed, each in turn gives to the other as many marbles as the other already possesses. It is found that after $2n$ such transfers, Ahmed has $q$ marbles and Beth has $p$ marbles.

Find $\frac{q}{p}$ in terms of $n$.

Topic: Algebra, Teoria dei Numeri Metodo: Induzione, Ricorsione Abilita: Manipolazione algebrica, Riconoscimento di pattern, Lettura attenta Area: Algebra e Analisi, Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

Marmi trasferiti tra due giocatori; trovare q/p in termini di n

Ahmed e Beth hanno marmi $p$ e $q$, con $p>q$. A partire da Ahmed, ciascuno a sua volta dà all’altro quanti marmi che l’altro già possiede. Si scopre che dopo tali trasferimenti, Ahmed ha marmi $q$ e Beth ha marmi $p$.

Trova $\frac{q}{p}$ in termini di $n$.

src_bmo2_2001__Q01

Find all integer pairs satisfying a Diophantine equation

Find all pairs of integers $(x,y)$ satisfying $1+x^{2}y=x^2+2xy+2x+y.$

Topic: Algebra, Teoria dei Numeri Metodo: Fattorizzazione, Casework Abilita: Manipolazione algebrica, Riconoscimento di pattern Area: Algebra e Analisi, Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

Ricerca tutte le coppie di numeri interi che soddisfano un’equazione diofantina

Trova tutte le coppie di integri $(x,y)$ soddisfacenti $1+x^{2}y=x^2+2xy+2x+y.$

src_bmo2_2001__Q02

Triangle with angle bisector and right angle; prove angle equality

A triangle $ABC$ has $\angle ACB>\angle ABC$. The internal bisector of $\angle BAC$ meets $BC$ at $D$. The point $E$ on $AB$ is such that $\angle EDB=90^{\circ }$. The point $F$ on $AC$ is such that $\angle BDE=\angle CDF$.

Show that $\angle BAD=\angle FDC$.

Topic: Geometria piana Metodo: Trigonometria, Simmetria Abilita: Ragionamento geometrico, Lettura attenta, Manipolazione algebrica Area: Geometria Fonte: apri PDF

Triangolo con angolo bisector e angolo retto; prova uguale angolo

Un triangolo $ABC$ ha $\angle ACB>\angle ABC$. Il bisettore interno di $\angle BAC$ incontra $BC$ a $D$. Il punto $E$ su $AB$ è tale che $\angle EDB=90^{\circ }$. Il punto $F$ su $AC$ è tale che $\angle BDE=\angle CDF$.

Mostra che $\angle BAD=\angle FDC$.

src_bmo2_2001__Q03

N dwarfs in a circle; find maximum and minimum of sum of height differences

$N$ dwarfs of heights $1,2,\dots ,N$ are arranged in a circle. For each of the $N$ pairs of neighbouring dwarfs, the positive difference between the heights is calculated; the sum of these $N$ differences is called the value $V$ of the arrangement.

Find (with proof) the maximum and minimum possible values of $V$.

Topic: Combinatoria Metodo: Estremalità, Casework, Doppio conteggio Abilita: Conteggio sistematico, Ragionamento geometrico, Riconoscimento di pattern, Stima Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF

N nani in un cerchio; trovare la somma massima e minima delle differenze di altezza

Le nane $N$ di altezza $1,2,\dots ,N$ sono disposte in cerchio. Per ciascuna delle coppie $N$ di nane vicine, viene calcolata la differenza positiva tra le altezze; la somma di queste differenze $N$ viene chiamata il valore $V$ dell’arrangimento.

Trova (con prova) i valori massimi e minimi possibili di $V$.

src_bmo2_2001__Q04