British Mathematical Olympiad 2002 — Round 2

Altitude from vertex of triangle bisects opposite side angle

The altitude from one of the vertices of an acute-angled triangle $ABC$ meets the opposite side at $D$. From $D$ perpendiculars $DE$ and $DF$ are drawn to the other two sides. Prove that the length of $EF$ is the same whichever vertex is chosen.

Topic: Geometria piana Metodo: Trigonometria, Simmetria Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica Area: Geometria Fonte: apri PDF

Altezza dal vertice del triangolo che bisecta angolo laterale opposto

L’altitudine da uno dei vertici di un triangolo acuto $ABC$ incontra il lato opposto a $D$. Da $D$ le perpendicolari $DE$ e $DF$ sono tracciate verso gli altri due lati. Prove che la lunghezza di $EF$ è la stessa a seconda del vertice scelto.

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Conference seating delegates find set of values of n

A conference hall has a round table with $n$ chairs. There are $n$ delegates to the conference. The first delegate sits anywhere. Thereafter the $(k+1)$th delegate sits $k$ places to the right of the $k$th delegate, for $1\le k\le n-1$. (In particular, the second delegate sits next to the first.) No two delegates may occupy the same seat. Find the set of values of $n$ for which this is possible.

Topic: Teoria dei Numeri, Combinatoria Metodo: Congruenze, Casework Abilita: Riconoscimento di pattern, Conteggio sistematico, Manipolazione algebrica Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF

I delegati dei posti di lavoro della conferenza trovano un insieme di valori di n

Una sala conferenze dispone di un tavolo rotondo con sedie $n$. Ci sono delegati $n$ alla conferenza. Il primo delegato siede ovunque. Successivamente il delegato $(k+1)$ siede $k$ a destra del delegato $k$, per $1\le k\le n-1$. (In particolare, il secondo delegato siede accanto al primo) Non possono occuparsi due delegati nello stesso posto. Trova l’insieme di valori di $n$ per il quale questo è possibile.

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Sequence defined by recurrence consists only of integers

Prove that the sequence defined by $b_0=1,b_1=1,b_{n+1}=b_n^2-b_{n-1}(n\ge 1)$ consists only of integers.

Topic: Teoria dei Numeri, Algebra Metodo: Induzione, Ricorsione Abilita: Manipolazione algebrica, Ragionamento geometrico, Lettura attenta Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

La sequenza definita da recidiva è composta solo da integri

Prove che la sequenza definita da $b_0=1,b_1=1,b_{n+1}=b_n^2-b_{n-1}(n\ge 1)$ è composta solo da numeri interi.

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N unit spheres arranged so each touches exactly two others; bound tangent length

Suppose that $B_1,\dots ,B_N$ are $N$ spheres of unit radius arranged in space so that each sphere touches exactly two others externally. Let $P$ be a point outside all these spheres, and let the $N$ points of contact be $C_1,\dots ,C_N$. The length of the tangent from $P$ to the sphere $B_i$ $(1\le i\le N)$ is denoted by $t_i$. Prove that the product of the quantities $t_i$ is no more than the square of the distance $PC$.

Topic: Geometria solida, Disuguaglianze Metodo: Disuguaglianze, Induzione Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica, Stima Area: Geometria, Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

N sfere unità disposte in modo che ciascuna tocchi esattamente altre due; lunghezza tangente legata

Supponiamo che $B_1,\dots ,B_N$ siano sfere $N$ di raggio unitario disposte nello spazio in modo che ciascuna sfera tocchi esattamente due altre esternamente. Che $P$ sia un punto al di fuori di tutte queste sfere, e che i punti di contatto $N$ siano $C_1,\dots ,C_N$. La lunghezza della tangente da $P$ alla sfera $B_i$ $(1\le i\le N)$ è indicata da $t_i$. Prove che il prodotto delle quantità $t_i$ non è superiore al quadrato della distanza $PC$.

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