British Mathematical Olympiad 2003 — Round 2

Triples in AP with largest prime factor of product at most 3

For each integer $n>1$, let $p(n)$ denote the largest prime factor of $n$. Determine all triples $x,y,z$ of distinct positive integers satisfying (i) $x,y,z$ are in arithmetic progression, and (ii) $p(xyz)\le 3$.

Topic: Teoria dei Numeri, Algebra Metodo: Casework, Fattorizzazione Abilita: Casework accurato, Manipolazione algebrica, Lettura attenta Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

Triplici in AP con il più grande fattore primo del prodotto al massimo 3

Per ogni numero intero $n>1$, $p(n)$ indica il più grande fattore primo di $n$. Determinare che tutti i triples $x,y,z$ di numeri interi positivi distinti che soddisfano i) $x,y,z$ sono in progressione aritmetica e ii) $p(xyz)\le 3$.

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Point D with 4AD=AB, half-line at angle ACB meets circumcircle at P, prove PB=2PD

Let $ABC$ be a triangle and let $D$ be a point on $AB$ such that $4AD=AB$. The half-line $\ell$ is drawn on the same side of $AB$ as $C$, starting from $D$, making an angle $\theta$ with $DA$ where $\theta =\angle ACB$. If the circumcircle of $ABC$ meets the half-line $\ell$ at $P$, show that $PB=2PD$.

Topic: Geometria piana Metodo: Trigonometria Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica, Lettura attenta Area: Geometria Fonte: apri PDF

Punto D con 4AD=AB, mezzo-linea all’angolo ACB incontra il circoncircolo a P, prova PB=2PD

Che $ABC$ sia un triangolo e che $D$ sia un punto su $AB$ tale che $4AD=AB$. La semillinea $\ell$ è disegnata sullo stesso lato di $AB$ come di $C$, partendo da $D$, formando un angolo $\theta$ con $DA$ dove $\theta =\angle ACB$. Se la circoncirca di $ABC$ incontra la metà della linea $\ell$ a $P$, indicare che $PB=2PD$.

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Permutation of positive integers: show f maps some AP to an AP

Let $f:\mathbb{N}\to \mathbb{N}$ be a bijection from the set of positive integers $\mathbb{N}$ to itself. (i) Show that there is an arithmetic progression of positive integers $a,a+d,a+2d,\dots$ ($d>0$) such that $f(a),f(a+d),f(a+2d),\dots$ is also an arithmetic progression. (ii) Is there such a bijection $f$ that maps every arithmetic progression to an arithmetic progression? How many such functions $f$ are there?

Topic: Combinatoria, Insiemi e funzioni Metodo: Biiezione, Induzione, Estremalità Abilita: Astrazione, Riconoscimento di pattern, Lettura attenta Area: Combinatoria, Logica e Probabilita, Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

Permutazione dei numeri interi positivi: mostrare f mappe alcuni AP a un AP

Che $f:\mathbb{N}\to \mathbb{N}$ sia una bijezione dall’insieme di integri positivi $\mathbb{N}$ a se stesso. (i) Mostra che esiste una progressione aritmetica di enti interi positivi $a,a+d,a+2d,\dots$ ($d>0$) tale che $f(a),f(a+d),f(a+2d),\dots$ sia anche una progressione aritmetica. (ii) Esiste una bijezione $f$ che mappa ogni progressione aritmetica a una progressione aritmetica? Quante funzioni $f$ esistono?

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Function on non-negative integers satisfying two conditions, count all such functions

Let $f$ be a function from the set of non-negative integers to itself. (i) $\left(f\right(\frac{1}{2}(f(n)+1))-1{)}^2=(f(n){)}^2$ for all $n\ge 0$, and $f(0)=0$, $f(1)=1$. (ii) How many such functions $f$ are there?

Topic: Insiemi e funzioni, Combinatoria Metodo: Ricorsione, Induzione, Casework Abilita: Astrazione, Manipolazione algebrica, Riconoscimento di pattern Area: Algebra e Analisi, Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF

Funzione su integri non negativi che soddisfano due condizioni, contare tutte queste funzioni

Lasciate che $f$ sia una funzione dall’insieme di integri non negativi a se stessa. (i) $\left(f\right(\frac{1}{2}(f(n)+1))-1{)}^2=(f(n){)}^2$ per tutti i $n\ge 0$ e $f(0)=0$, $f(1)=1$. (ii) Quante funzioni di questo tipo esistono?

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