British Mathematical Olympiad 2005 — Round 2

Prove N is a perfect square given ordered pairs condition

The integer $N$ is positive. There are exactly 2005 ordered pairs $(x,y)$ of positive integers satisfying $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{1}{N}.$ Prove that $N$ is a perfect square.

Topic: Teoria dei Numeri Metodo: Fattorizzazione, Congruenze Abilita: Manipolazione algebrica, Riconoscimento di pattern, Lettura attenta Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

Prova N è un quadrato perfetto data condizione di coppie ordinate

Il numero intero $N$ è positivo. Esistono esattamente coppie ordinate 2005 $(x,y)$ di integri positivi che soddisfano $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{1}{N}.$ Prove che $N$ è un quadrato perfetto.

src_bmo2_2005__Q01

Angle bisectors and opposite sides in triangle with circumscribed circle

In triangle $ABC$, $\angle BAC=120^{\circ }$. Let the angle bisectors of angles $A$, $B$, $C$ meet the opposite sides at $D$, $E$, $F$ respectively. Prove that the circle with diameter $EF$ passes through $D$.

Topic: Geometria piana Metodo: Trigonometria, Simmetria Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica, Lettura attenta Area: Geometria Fonte: apri PDF

Bissettori angolari e lati opposti in triangolo con cerchio circoscritto

In triangolo $ABC$, $\angle BAC=120^{\circ }$. Lasciate che i bisettori angolari degli angoli $A$, $B$ e $C$ incontrino rispettivamente i lati opposti a $D$, $E$ e $F$. Provare che il cerchio di diametro $EF$ passa attraverso $D$.

src_bmo2_2005__Q02

Prove inequality for positive reals a, b, c

Let $a,b,c$ be positive real numbers. Prove that ${\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}\right)}^2\ge (a+b+c)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right).$

Topic: Disuguaglianze Metodo: Disuguaglianze, Simmetria Abilita: Manipolazione algebrica, Stima, Lettura attenta Area: Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

Prove la disuguaglianza dei valori reali positivi a, b, c

Lasciate che $a,b,c$ siano numeri reali positivi. Provare che ${\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}\right)}^2\ge (a+b+c)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right).$

src_bmo2_2005__Q03

Count 3-element subsets of {1,…,n} with intersection and empty conditions

Let $X=\{A_1,A_2,\dots ,A_k\}$ be a collection of 3-element subsets of $\{1,2,\dots ,n\}$ such that: (i) $A_i$ and $A_j$ have non-empty intersection for every $i,j$, (ii) the intersection of all the elements of $X$ is the empty set. Show that $n\le 100$. How many such $X$ are there when $n=100$?

Topic: Combinatoria Metodo: Casework, Conteggio, Estremalità Abilita: Conteggio sistematico, Casework accurato, Ragionamento geometrico, Lettura attenta Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF

Contare i sottogruppi di 3 elementi di {1,…,n} con condizioni di intersezione e vuoto

Il $X=\{A_1,A_2,\dots ,A_k\}$ deve essere un insieme di sottoinsiemi di 3 elementi di $\{1,2,\dots ,n\}$ in modo tale che: (i) $A_i$ e $A_j$ abbiano un intersezione non vuota per ogni $i,j$, (ii) l’intersezione di tutti gli elementi di $X$ sia il set vuoto. Mostra che $n\le 100$. Quanti sono tali $X$ quando $n=100$?

src_bmo2_2005__Q04