British Mathematical Olympiad 2006 — Round 2

Minimum value of x²+y² with constraint xy(x²−y²)=x²+y²

Find the minimum possible value of $x^2+y^2$ given that $x$ and $y$ are real numbers satisfying $xy(x^2-y^2)=x^2+y^2$ and $x\ne 0$.

Topic: Algebra, Disuguaglianze Metodo: Simmetria, Fattorizzazione Abilita: Manipolazione algebrica, Stima, Lettura attenta Area: Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

Valore minimo di x2+y2 con restrizione xy(x2−y2) = x2+y2

Trova il valore minimo possibile di $x^2+y^2$ dato che $x$ e $y$ sono numeri reali che soddisfano $xy(x^2-y^2)=x^2+y^2$ e $x\ne 0$.

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Find positive integers with prime factors ≤5 satisfying x²−y²=2^k

Let $x$ and $y$ be positive integers with no prime factors larger than $5$. Find all such $x$ and $y$ which satisfy $x^2-y^2=2^k$ for some non-negative integer $k$.

Topic: Teoria dei Numeri Metodo: Fattorizzazione, Casework, Congruenze Abilita: Manipolazione algebrica, Riconoscimento di pattern, Casework accurato Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

Ricerca interi positivi con fattori primi ≤5 che soddisfano x2−y2=2^k

$x$ e $y$ siano integri positivi senza fattori primi superiori a $5$. Trova tutti i $x$ e $y$ che soddisfano $x^2-y^2=2^k$ per un intero non negativo $k$.

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Show angle BPC equals angle BAC using points on extended sides

Let $ABC$ be a triangle with $AC>AB$. The point $X$ lies on the side $BC$ extended through $A$, and $Y$ lies on side $CA$ extended through $B$, such that $BX=CA$ and $CY=BA$. The line $XY$ meets the perpendicular bisector of $BC$ at $P$. Show that $\angle BPC=\angle BAC.$

Topic: Geometria piana Metodo: Coordinate, Simmetria Abilita: Ragionamento geometrico, Modellizzazione, Lettura attenta Area: Geometria Fonte: apri PDF

Mostra che l’angolo BPC è uguale all’angolo BAC utilizzando punti sui lati estesi

$ABC$ sia un triangolo con $AC>AB$. Il punto $X$ si trova sul lato $BC$ esteso attraverso $A$, e $Y$ si trova sul lato $CA$ esteso attraverso $B$, in modo tale che $BX=CA$ e $CY=BA$. La linea $XY$ incontra il bisettore perpendicolare di $BC$ a $P$. Indicare che $\angle BPC=\angle BAC.$

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Exam with 2006 children, any three cover ≥5 questions; find minimum total right answers

An exam consisting of six questions is sat by $2006$ children. Each question is marked either right or wrong. Any three children have right answers to at least five of the six questions between them. Let $N$ be the total number of right answers achieved by all the children (i.e. the total number of questions solved by child $1$ $+$ the total solved by child $2$ $+\cdots +$ the total solved by child $2006$). Find the least possible value of $N$.

Topic: Combinatoria Metodo: Estremalità, Casework, Doppio conteggio Abilita: Conteggio sistematico, Ragionamento geometrico, Astrazione, Lettura attenta Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF

*Esame con bambini 2006, qualsiasi tre domande ≥5 domande; trovare risposte minime corrette *

Un esame composto da sei domande è presentato da bambini $2006$. Ogni domanda è contrassegnata come giusta o sbagliata. Qualsiasi tre bambini abbiano risposte giuste a almeno cinque delle sei domande che si presentano tra loro. Il numero di risposte corrette ottenute da tutti i bambini (cioè il numero totale di domande risolute dal bambino $1$ $+$ il totale risolto dal bambino $2$ $+\cdots +$ il totale risolto dal bambino $2006$). Trova il minimo valore possibile di $N$.

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