British Mathematical Olympiad 2007 — Round 2

Integer-sided triangle with AC=2007 and equal angles condition

Triangle $ABC$ has integer-length sides, and $AC=2007$. Given that $\angle BAC=\angle ACD$, determine $AB$ and $BC$.

Topic: Geometria piana, Teoria dei Numeri Metodo: Fattorizzazione, Congruenze Abilita: Manipolazione algebrica, Ragionamento geometrico, Lettura attenta Area: Geometria, Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

Triangolo a lato intero con AC=2007 e condizione di angoli uguali

Il triangolo $ABC$ ha lati a lunghezza interi e $AC=2007$. Dato che $\angle BAC=\angle ACD$, determinare $AB$ e $BC$.

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Infinitely many positive integer pairs making a sum of fractions an integer

Show that there are infinitely many pairs of positive integers $(m,n)$ such that $\frac{m+1}{n}+\frac{n+1}{m}$ is a positive integer.

Topic: Teoria dei Numeri Metodo: Induzione, Ricorsione, Fattorizzazione Abilita: Riconoscimento di pattern, Manipolazione algebrica, Modellizzazione Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

Infinitamente molte coppie di numeri interi positivi che rendono una somma di frazioni un numero intero

Mostrare che ci sono infinite coppie di integri positivi $(m,n)$ in modo tale che $\frac{m+1}{n}+\frac{n+1}{m}$ è un intero positivo.

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Prove orthocentre equidistant from circumcentre and foot of altitude in isosceles triangle

Let $ABC$ be an acute-angled triangle with $AB=AC$ and $\angle BAC=\alpha$. Denote the circumcircle of $△ABC$ by $D$. Let $O$ be the circumcentre and let $H$ be the foot of the altitude from $A$ to $BC$. Let $P$ be the orthocentre of $△ABC$ (i.e., the intersection of the perpendiculars from the vertices $A$, $B$, $C$ to the opposite sides). Prove that $PO=PH$.

(Note: The circumcircle of $△ABC$ is the circle which passes through the vertices $A$, $B$ and $C$. The orthocentre is the point of intersection of the perpendiculars from the vertices to the opposite sides.)

Topic: Geometria piana Metodo: Trigonometria, Coordinate Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica, Lettura attenta Area: Geometria Fonte: apri PDF

Prove l’ortocentro equidistante dal circoncentro e dal piede d’altitudine in triangolo a pari scala

Il $ABC$ deve essere un triangolo acuto con $AB=AC$ e $\angle BAC=\alpha$. Denotare il circoncircolo di $△ABC$ con $D$. $O$ sia il circoncentro e $H$ sia il piede dell’altitudine da $A$ a $BC$. Il $P$ deve essere l’ortocentro di $△ABC$ (cioè l’intersezione delle perpendicolari dai vertici $A$, $B$, $C$ ai lati opposti). Prove che $PO=PH$.

(Nota: il circoncircolo di $△ABC$ è il circolo che attraversa i vertici $A$, $B$ e $C$. L’ortocentro è il punto di intersezione delle perpendicolari dai vertici ai lati opposti.)

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Count ways to close lines in 6-city complete rail graph keeping it connected

In the land of Hexagonia, the six cities are connected by a rail network such that there is a direct rail line connecting each pair of cities. On Sundays, some lines may be closed for repair. The passengers’ rail charter stipulates that any city must be accessible by rail from any other (not necessarily directly) at all times. In how many different ways can some of the lines be closed subject to this condition?

Topic: Combinatoria Metodo: Conteggio, Casework, Grafi Abilita: Conteggio sistematico, Ragionamento geometrico, Riconoscimento di pattern, Modellizzazione Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF

Contare i modi per chiudere le linee in un grafico ferroviario completo di 6 città mantenendolo connesso

Nel paese dell’Esagonia, le sei città sono collegate da una rete ferroviaria tale che esiste una linea ferroviaria diretta che collega ciascuna coppia di città. Domenica, alcune linee possono essere chiuse per la riparazione. La carta ferroviaria dei passeggeri stabilisce che ogni città deve essere accessibile in treno da qualsiasi altra città (non necessariamente direttamente) in ogni momento. In quanti modi diversi possono essere chiuse alcune linee a condizione di questa condizione?

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