British Mathematical Olympiad 2008 — Round 2

Minimum of x^2+y^2+z^2 subject to x^3+y^3+z^3-3xyz=1.

Find the minimum value of $x^2+y^2+z^2$ where $x,y,z$ are real numbers such that $x^3+y^3+z^3-3xyz=1$.

Topic: Algebra, Disuguaglianze Metodo: Disuguaglianze, Fattorizzazione Abilita: Manipolazione algebrica Area: Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

Minimum di x^2+y^2+z^2 soggetto a x^3+y^3+z^3-3xyz=1.

Trova il valore minimo di $x^2+y^2+z^2$ dove $x,y,z$ sono numeri reali come $x^3+y^3+z^3-3xyz=1$.

src_bmo2_2008__Q01

Triangle with incentre I and circumcentre O, angle AIO=90 and CIO=45; find AB:BC:CA.

Let triangle $ABC$ have incentre $I$ and circumcentre $O$. Suppose that $\angle AIO=90^{\circ }$ and $\angle CIO=45^{\circ }$. Find the ratio $AB:BC:CA$.

Topic: Geometria piana, Trigonometria Metodo: Trigonometria Abilita: Ragionamento geometrico Area: Geometria Fonte: apri PDF

Triangolo con incentro I e circoncentro O, angolo AIO=90 e CIO=45; trovare AB:BC:CA.

Il triangolo $ABC$ deve avere il centro $I$ e il circoncentro $O$. Supponiamo che $\angle AIO=90^{\circ }$ e $\angle CIO=45^{\circ }$. Trova il rapporto $AB:BC:CA$.

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Determine the radius of an unknown circle (positive integer radius at most 2008, origin inside) using at most sixty inside/outside membership questions.

Adrian has drawn a circle in the $xy$-plane whose radius is a positive integer at most 2008. The origin lies somewhere inside the circle. You are allowed to ask him questions of the form “Is the point $(x,y)$ inside your circle?” After each question he will answer truthfully “yes” or “no”. Show that it is always possible to deduce the radius of the circle after at most sixty questions. [Note: Any point which lies exactly on the circle may be considered to lie inside the circle.]

Topic: Combinatoria, Geometria analitica Metodo: Casework Abilita: Conteggio sistematico, Stima, Modellizzazione Area: Combinatoria, Logica e Probabilita, Geometria Fonte: apri PDF

Determina il raggio di un cerchio sconosciuto (raggio di un intero positivo al massimo 2008, origine all’interno) utilizzando al massimo sessanta domande di appartenenza all’interno/all’esterno.

Adrian ha disegnato un cerchio nel piano $xy$ il cui raggio è un intero positivo al massimo 2008. L’origine si trova da qualche parte dentro il cerchio. È consentito fargli domande del tipo “Il punto $(x,y)$ è all’interno del suo cerchio?” Dopo ogni domanda egli risponderà con verità “sì” o “no”. Mostrare che è sempre possibile dedurre il raggio del cerchio dopo almeno sessanta domande. [Nota: ogni punto che si trova esattamente sul cerchio può essere considerato situato all’interno del cerchio.]

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Prove there are infinitely many pairs of distinct positive integers x,y with x^3+y^2 dividing x^2+y^3.

Prove that there are infinitely many pairs of distinct positive integers $x,y$ such that $x^2+y^3$ is divisible by $x^3+y^2$.

Topic: Teoria dei Numeri, Algebra Metodo: Fattorizzazione Abilita: Riconoscimento di pattern, Manipolazione algebrica Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

Prova che ci sono infinite coppie di diversi integri positivi x,y con x^3+y^2 dividendo x^2+y

Prove che ci sono infinite coppie di integri positivi distinti $x,y$ in modo tale che $x^2+y^3$ sia divisibile da $x^3+y^2$.

src_bmo2_2008__Q04